Verified answer

Ответ:

Метод математической индукции:

Для того, чтобы доказать, что некоторое утверждение верно при натуральном [tex]n[/tex] необходимо выполнить следующие условия:

База индукции:

• 1) Доказать, что утверждение верно при [tex]n = 1[/tex] (или для любого другого конкретного натруального [tex]p[/tex], тогда утверждение будет доказано от [tex]p[/tex] и до всех последюущих натуральных [tex]n[/tex] если удастся доказать индуктивный переход).

Индуктивный переход:

• 2) Сделать гипотезу, что утверждение верно для [tex]n = k[/tex] и на основании данной гипотезы доказать, что утверждение верно для [tex]n = k + 1[/tex]

Если выполнены утверждения 1) и 2), то исходное утверждение доказано для всех натуральных [tex]n[/tex]методом математической индукции.

1.105

Воспользуемся методом математической индукции:

[tex]\displaystyle \bigg (1 - \frac{2}{2 \cdot 3} \bigg )\bigg (1 - \frac{2}{3\cdot 4} \bigg ) \bigg (1 - \frac{2}{4 \cdot 5} \bigg ) \cdot \ldots \cdot \bigg (1 - \frac{2}{(n + 1)(n + 2)} \bigg ) = \frac{n + 3}{3(n + 1)}[/tex]

База индукции:

[tex]n = 1;[/tex]

[tex]\displaystyle 1 - \frac{2}{2 \cdot 3} = 1 - \frac{2}{6} = \dfrac{6}{6} - \frac{2}{6} = \frac{6 -2}{6} = \dfrac{4}{6} = \frac{1 + 3}{3(1 + 1)} = \frac{4}{3 \cdot 2} = \dfrac{4}{6}[/tex] - верно

Индуктивный переход:

[tex]n = k;[/tex]

[tex]\boxed{ \displaystyle \bigg (1 - \frac{2}{2 \cdot 3} \bigg )\bigg (1 - \frac{2}{3\cdot 4} \bigg ) \bigg (1 - \frac{2}{4 \cdot 5} \bigg ) \cdot \ldots \cdot \bigg (1 - \frac{2}{(k + 1)(k + 2)} \bigg ) = \frac{k + 3}{3(k + 1)} }[/tex]

(пусть верно)

Необходимо доказать:

[tex]n = k + 1;[/tex]

[tex]\displaystyle \bigg (1 - \frac{2}{2 \cdot 3} \bigg )\bigg (1 - \frac{2}{3\cdot 4} \bigg ) \bigg (1 - \frac{2}{4 \cdot 5} \bigg ) \cdot \ldots \cdot \bigg (1 - \frac{2}{(k + 1)(k + 2)} \bigg ) \cdot[/tex]

[tex]\displaystyle \cdot \bigg (1 - \frac{2}{(k + 1 + 1)(k + 1 + 2)} \bigg ) = \frac{k + 1 + 3}{3(k + 1+ 1)}[/tex]

[tex]\displaystyle \underbrace{ \bigg (1 - \frac{2}{2 \cdot 3} \bigg )\bigg (1 - \frac{2}{3\cdot 4} \bigg ) \bigg (1 - \frac{2}{4 \cdot 5} \bigg ) \cdot \ldots \cdot \bigg (1 - \frac{2}{(k + 1)(k + 2)} \bigg ) }_{\dfrac{k + 3}{3(k + 1)}} \cdot[/tex]

[tex]\displaystyle \cdot \bigg (1 - \frac{2}{(k + 2)(k + 3)} \bigg ) = \frac{k + 4}{3(k + 2)}[/tex]

[tex]\displaystyle \dfrac{k + 3}{3(k + 1)} \cdot \bigg (1 - \frac{2}{(k + 2)(k + 3)} \bigg ) = \frac{k + 4}{3(k + 2)}[/tex]

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

а)

[tex]\displaystyle 1 - \frac{2}{(k + 2)(k + 3)} = \frac{(k + 2)(k + 3)}{(k + 2)(k + 3)} - \frac{2}{(k + 2)(k + 3)} = \frac{(k + 2)(k + 3) - 2}{(k + 2)(k + 3)}[/tex]

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

[tex]\displaystyle \dfrac{(k + 3)}{3(k + 1)} \cdot \frac{((k + 2)(k + 3) - 2)}{(k + 2)(k + 3)} = \frac{k + 4}{3(k + 2)} \bigg|\cdot 3[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{(k + 3)((k + 2)(k + 3) - 2)}{(k + 1)(k + 2)(k + 3)} = \frac{k + 4}{(k + 2)} \bigg |:( k+ 2)[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{(k + 2)(k + 3) - 2}{(k + 1)} = k + 4[/tex]

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

б)

[tex](k + 2)(k + 3) - 2 = 0[/tex]

[tex]k^{2} + 2k + 3k + 6 - 2 = 0[/tex]

[tex]k^{2} + 5k + 4 = 0[/tex]

[tex]D = 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 = 3^{2}[/tex]

[tex]k_{1}= \dfrac{-5 + 3}{2} = \dfrac{-2}{2} =-1[/tex]

[tex]k_{1}= \dfrac{-5 - 3}{2} = \dfrac{-8}{2} =-4[/tex]

[tex](k + 2)(k + 3) - 2 =k^{2} + 5k + 4 = (k + 1)(k + 4)[/tex]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

[tex]\displaystyle \frac{(k + 1)(k + 4)}{(k + 1)} = k + 4[/tex]

[tex]k + 4 = k + 4[/tex]

Так как правую и левую часть тождества

[tex]\displaystyle \bigg (1 - \frac{2}{2 \cdot 3} \bigg )\bigg (1 - \frac{2}{3\cdot 4} \bigg ) \bigg (1 - \frac{2}{4 \cdot 5} \bigg ) \cdot \ldots \cdot \bigg (1 - \frac{2}{(k + 1)(k + 2)} \bigg ) = \frac{k + 3}{3(k + 1)}[/tex]

путем равносильных преобразований удалось свести к равному выражению [tex](k + 4 = k+ 4)[/tex], тогда первоначальное утверждение доказано методом математической индукции.