Verified answer

Ответ:

Площадь осевого сечения цилиндра 32 см²

Объяснение:

Хорда нижнего основания цилиндра удалена от центра нижнего основания на 2√3 см и отсекает от окружности основания дугу в 60º. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с одним из концов данной хорды, образует с осью цилиндра угол 45°. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Дан цилиндр, у которого точки К и О - центры верхнего и нижнего основания соответственно.

В нижнем основании проведём хорду АВ. Из центра основы О проведем отрезки ОА и ОВ.

Так как ОВ=ОА как радиусы цилиндра, то △АОВ - равнобедренный, с основанием АВ.

∠АОВ - центральный угол, вписанный в окружность с центром в точке О, который опирается на дугу АВ, которая по условию равна 60°.

• Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается

∠АОВ=60°

Расстояние от центра О до хорды АВ - перпендикуляр, опущенный из т.О к хорде АВ. ОМ⟂АВ. Высота ОМ является также биссектрисой ∠О (свойство равнобедренного треугольника) ⇒ ∠ВОМ= ½•∠АОВ=½•60°= 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ОМВ(∠М=90°)

• Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе

[tex]cos \angle MOB= \dfrac{OM}{OB} [/tex]

[tex]OB = \dfrac{OM}{cos \angle MOB} = \dfrac{2 \sqrt{3} }{30^\circ} = \dfrac{2 \sqrt{3} \times 2}{ \sqrt{3} } = 4[/tex]

R= ОВ =4cм

Поскольку по условию отрезок, соединяющий центр верхнего основания с одним из концов хорды, образует с осью цилиндра ∠ОКВ=45°, то рассмотрев прямоугольный треугольник КОВ, приходим к выводу, что высота цилиндра равна его радиусу.

Действительно, ∠В=90°-∠К=90°-45°=45° - по теореме о сумме острых углов прямоугольного треугольника. ⇒ ∠В=∠К - если два угла равны, то треугольник равнобедренный. ВК - основание.

ОК=ОВ - как боковые стороны равнобедренного треугольника.

Н = R = 4см

Осевым сечением цилиндра является прямоугольник ВВ1Р1Р, стороны ВВ1=РР1 которого - образующие цилиндра (их длина равна высоте Н цилиндра), а другие две стороны ВР=В1Р1 - диаметры основ цилиндра.

Диаметр равен двум радиусам. d=2•R.

Площадь осевого сечения цилиндра :

S= H•D= H•2R=2•R²=2•4²= 2•16 = 32 см²