Ответ:

[tex]\boxed{ \boldsymbol {S = \frac{8}{3} } }[/tex] квадратных единиц

Примечание:

Для вычисления двойного интеграла сведем его к повторному интегралу. Будем интегрировать по x, поэтому приведения в общем

виде к повторному интегралу двойного по области [tex]G[/tex] будет в виде:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint_{G} f(x,y) \, dxdy = \int\limits^a_b \, dx \int\limits^{\phi_{2}(x)}_{\phi_{1}(x)} {f(x,y)} \, dy } }[/tex]

При этом функции [tex]\phi_{1} (x), \phi_{2} (x)[/tex] - функции ограничивающие область  снизу и сверху соответственно (смотрите рис(1)).

Взятие интеграла [tex]\displaystyle \int\limits^{1}_{-1} \bigg(2 - 2x^{2} \bigg) \, dx[/tex] с границами от -1 до 1 возможно, так как функция [tex]f(x) = 2 - 2x^{2}[/tex] является четной, так как [tex]f(x) = f(-x)[/tex].

Объяснение:

По теореме площадь ограниченной области [tex]G[/tex] плоскости:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ S = S(G) =\displaystyle \iint_{G} \, dxdy }}[/tex]

Смотрите рис(2)

Область [tex]G:[/tex]

[tex]y = 2x^{2}[/tex]

[tex]y = 2[/tex]

Найдем абсциссы пересечения графиков [tex]y = 2x^{2}[/tex] и [tex]y = 2:[/tex]

[tex]2x^{2} = 2|:2[/tex]

[tex]x^{2} = 1[/tex]

[tex]x^{2} -1 =0[/tex]

[tex](x - 1)(x + 1) = 0[/tex]

[tex]x - 1 = 0[/tex] или [tex]x + 1 = 0[/tex]

[tex]x_{1,2} = \pm1[/tex]

Границы интегрирования: от -1 до 1

[tex]\displaystyle S= \iint_{G} dxdy = \int\limits^{1}_{-1} \, dx \int\limits^{2}_{2x^{2} } \, dy = \int\limits^{1}_{-1} \bigg (y \bigg|_{2x^{2} }^{2} \bigg) \, dx =\int\limits^{1}_{-1} \bigg(2 - 2x^{2} \bigg) \, dx =[/tex]

[tex]\displaystyle = \bigg( 2x - \frac{2x^{3}}{3} \bigg) \bigg |_{-1}^{1} = \bigg( 2 \cdot 1 - \frac{2 \cdot 1^{3}}{3} \bigg) \bigg - \bigg( 2 \cdot (-1) - \frac{2 \cdot (-1)^{3}}{3} \bigg) \bigg =[/tex]

[tex]\displaystyle = \bigg( 2 - \frac{2}{3} \bigg) \bigg - \bigg( -2 +\frac{2}{3} \bigg) \bigg = 2 - \frac{2}{3} + 2 - \frac{2}{3} = 4 - \frac{4}{3} = \frac{12}{3} - \frac{4}{3}=\frac{12 - 4}{3} = \frac{8}{3}[/tex] квадратных единиц.