Verified answer

Ответ:

Повторные интегралы:

а) [tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \int\limits^{a}_{0} \, dx \int\limits^{\sqrt{x} }_{0} \, dy = \dfrac{2a^{1,5} }{3} } }[/tex]

б) [tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \int\limits^{2}_{1} \, dy \int\limits^{\ln y }_{0} {e^{x}} \, dx = 0,5 } }[/tex]

Примечание:

При вычислении повторных интегралов сначала вычисляется внутренний интеграл, а потом внешний. Интегрирование идет по одной переменной, которая стоит под знаком дифференциала поэтому другая переменная принимается за константу.

Объяснение:

а)

[tex]\displaystyle \int\limits^{a}_{0} \, dx \int\limits^{\sqrt{x} }_{0} \, dy = \int\limits^{a}_{0} \, dx \bigg (y \bigg |_{0}^{\sqrt{x} } \bigg) = \int\limits^{a}_{0} \bigg (\sqrt{x} - 0 \bigg) \, dx = \int\limits^{a}_{0}\sqrt{x} \, dx =[/tex]

-------------------------------------------------------------------------------------------

Замена: [tex]\sqrt{x} = t \Longrightarrow x = t^{2}[/tex]

[tex]dx = d(t^{2}) \ dt[/tex]

[tex]dx = 2t \ dt[/tex]

Границы интегрирования:

[tex]x_{1} = 0[/tex]

[tex]x_{2} = a[/tex]

Границы интегрирования при замене переменных:

[tex]t_{1} = \sqrt{x_{1}} = \sqrt{0} = 0[/tex]

[tex]t_{2} = \sqrt{x_{2}} = \sqrt{a}[/tex]

--------------------------------------------------------------------------------------------

[tex]\displaystyle = \int\limits^{a}_{0}\sqrt{x} \, dx = \int\limits^{\sqrt{a} }_{0} t \cdot 2t \, dt =2 \int\limits^{\sqrt{a} }_{0} t^{2} \, dt = \dfrac{2t^{3}}{3} \bigg|_{0}^{\sqrt{a} } = \frac{2}{3} \bigg((\sqrt{a})^{3} - 0^{3} \bigg) = \dfrac{2a^{1,5} }{3}[/tex]

б)

[tex]\displaystyle \int\limits^{2}_{1} \, dy \int\limits^{\ln y }_{0} {e^{x}} \, dx = \int\limits^{2}_{1} \, dy \bigg (e^{x} \bigg |_{0}^{\ln y} \bigg) = \int\limits^{2}_{1} \bigg(e^{\ln y} - e^{0} \bigg) \, dy = \int\limits^{2}_{1} \bigg(y - 1 \bigg) \, dy =[/tex]

[tex]= \bigg( \dfrac{y^{2}}{2} - y \bigg) \bigg |_{1}^{2} = \bigg( \dfrac{2^{2}}{2} - 2 \bigg) - \bigg( \dfrac{1^{2}}{2} - 1 \bigg) = \bigg( \dfrac{4}{2} - 2 \bigg) - \bigg( \dfrac{1}{2} - 1 \bigg) =[/tex]

[tex]= \bigg( 2 - 2 \bigg) - \bigg( 0,5 - 1 \bigg) = - \bigg( 0,5 - 1 \bigg) = - \bigg( -0,5 \bigg) = 0,5[/tex]