Verified answer

Ответ:

Так как по условию [tex]n \in \mathbb N[/tex], то при решении можно не учитывать ОДЗ

1)

[tex]2\sqrt{n} - 2\sqrt{n - 1} > \dfrac{1}{\sqrt{n}} \bigg| \cdot \sqrt{n}[/tex]

[tex]2n - 2\sqrt{n(n - 1)} > 1[/tex]

[tex]2n - 1 > 2\sqrt{n^{2} - n}[/tex]

[tex](2n - 1)^{2} > (2\sqrt{n^{2} - n})^{2}[/tex]

[tex]4n^{2} - 4n + 1 > 4(n^{2} - n)[/tex]

[tex]4n^{2} - 4n + 1 > 4n^{2} - 4n[/tex]

[tex]1 > 0[/tex] - верно

2)

[tex]2\sqrt{n + 1} - 2\sqrt{n} < \dfrac{1}{\sqrt{n} } \bigg|\cdot \dfrac{\sqrt{n} }{1}[/tex]

[tex]2\sqrt{n(n + 1)} - 2n < 1[/tex]

[tex]2\sqrt{n^{2} + n} < 1 + 2n[/tex]

[tex](2\sqrt{n^{2} + n})^{2} < (1 + 2n)^{2}[/tex]

[tex]4(n^{2} + n) < 4n^{2} + 4n + 1[/tex]

[tex]4n^{2} + 4n < 4n^{2} + 4n + 1[/tex]

[tex]0 < 1[/tex] - верно