Verified answer

Ответ:

Пределы:

1) [tex]\boxed{ \boldsymbol { \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{6x} = \frac{5}{6} } }[/tex]

2) [tex]\boxed{ \boldsymbol { \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin \dfrac{x}{4} } = 8 } }[/tex]

3) [tex]\boxed{ \boldsymbol { \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 4x} = 1,25 } }[/tex]

4) [tex]\boxed{ \boldsymbol { \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} \dfrac{x}{3} }{3x^{3}} =\frac{1}{81} } }[/tex]

Примечание:

Первый замечательный предел:

[tex]\boxed{ \displaystyle \boldsymbol{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 } }[/tex]

Следствие из первого замечательного предела:

[tex]\boxed{ \displaystyle \boldsymbol{ \lim_{x \to x_{0}} \frac{\sin g(x)}{g(x)} = 1 } }[/tex] при условии, что [tex]\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} g(x) = 0[/tex]

--------------------------------------------------------------------

[tex]\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)[/tex] если [tex]\exists f(x)[/tex] в точке [tex]x = a[/tex]

Теоремы: (при условии, что [tex]f(x), g(x)[/tex] имеют предел в точке [tex]a[/tex])

Предел суммы:

[tex]\displaystyle \lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)[/tex]

Предел произведения:

[tex]\displaystyle \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)[/tex]

Следствие из предела произведения:

[tex]\displaystyle \lim_{x \to a} (k \cdot f(x)) = k \lim_{x \to a} f(x)[/tex]

Предел частного:

[tex]\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) }{\displaystyle \lim_{x \to a} g(x)}[/tex] при условии, что [tex]\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) \neq 0[/tex]

Объяснение:

1)

[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{6x} = \frac{1}{6} \lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot\sin 5x}{5x} = \frac{5}{6} \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = \frac{5}{6} \cdot 1 = \frac{5}{6}[/tex]

2)

[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin \dfrac{x}{4} } =2\lim_{x \to 0} \frac{1}{ \dfrac{\sin \dfrac{x}{4} }{x} } = 2\lim_{x \to 0} \frac{1}{ \dfrac{\sin \dfrac{x}{4} }{4 \cdot\dfrac{x}{4} } } = \frac{2}{\displaystyle \lim_{x \to 0} \Bigg(\dfrac{\sin \dfrac{x}{4} }{4 \cdot\dfrac{x}{4} } \Bigg)} =\frac{2}{\displaystyle \frac{1}{4} \lim_{x \to 0} \Bigg(\dfrac{\sin \dfrac{x}{4} }{\dfrac{x}{4} } \Bigg)}=[/tex]

[tex]= \dfrac{2}{\dfrac{1}{4} \cdot 1} = \dfrac{2}{0,25} = 8[/tex]

3)

[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{5x \cdot \dfrac{\sin 5x}{5x} }{4x \cdot \dfrac{\sin 4x}{4x} } = \lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot \dfrac{\sin 5x}{5x} }{4 \cdot \dfrac{\sin 4x}{4x} } = \frac{5}{4} \lim_{x \to 0} \frac{ \dfrac{\sin 5x}{5x} }{ \dfrac{\sin 4x}{4x} } =[/tex]

[tex]\displaystyle = \frac{5}{4} \cdot \frac{\displaystyle \lim_{x \to 0} \bigg( \dfrac{\sin 5x}{5x} \bigg) }{ \displaystyle \lim_{x \to 0} \bigg(\dfrac{\sin 4x}{4x} \bigg) } = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{1} = \frac{5}{4} = 1,25[/tex]

4)

[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} \dfrac{x}{3} }{3x^{3}} = \frac{1}{3} \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} \dfrac{x}{3} }{3^{3} \cdot \dfrac{x^{3}}{3^{3}} } =\frac{1}{81} \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} \dfrac{x}{3} }{\dfrac{x^{3}}{3^{3}} } =\frac{1}{81} \Bigg(\lim_{x \to 0} \frac{\sin \dfrac{x}{3} }{\dfrac{x}{3} } \Bigg)^{3} =\frac{1}{81} \cdot 1 =[/tex]

[tex]= \dfrac{1}{81}[/tex]