Verified answer

Ответ:

Метод математической индукции:

Для того, чтобы доказать, что некоторое утверждение верно при натуральном [tex]n[/tex] необходимо выполнить следующие условия:

База индукции:

• 1) Доказать, что утверждение верно при [tex]n = 1[/tex] или при каком либо другом конкретном натуральном [tex]p[/tex] (в этом случае утверждение будет доказно от [tex]p[/tex] и для всех последующих натуральных чисел).

Индуктивный переход:

• 2) Сделать гипотезу, что утверждение верно для [tex]n = k[/tex] и на основании данной гипотезы доказать, что утверждение верно для [tex]n = k + 1[/tex]

Если выполнены утверждения 1) и 2), то исходное утверждение доказано для всех натуральных [tex]n[/tex] методом математической индукции.

22.22

Воспользуемся методом математической индукции:

[tex]\displaystyle \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}; n \geq 2; n \in \mathbb N[/tex]

База индукции:

[tex]n = 2;[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{2 + 1} + \frac{1}{2 + 2} \lor \frac{13}{24}[/tex]

а) [tex]\displaystyle \frac{1}{2 + 1} + \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4 + 3}{12} = \frac{7}{12}[/tex]

[tex]\dfrac{7}{12} \lor \dfrac{13}{24} \bigg | \cdot 24[/tex]

[tex]2 \cdot 7 \lor 13[/tex]

[tex]14 > 13 \Longrightarrow \boxed{ \displaystyle \frac{1}{2 + 1} + \frac{1}{2 + 2} > \frac{13}{24}}[/tex] - верно

Индуктивный переход:

[tex]n = k;[/tex]

[tex]\boxed{\displaystyle \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + \ldots + \frac{1}{2k} > \frac{13}{24}}[/tex] - пусть верно

Необходимо доказать:

[tex]n = k + 1;[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + \ldots + \frac{1}{2k} + \frac{1}{2(k + 1)} > \frac{13}{24}[/tex]

Так как по предположению индукции [tex]\displaystyle \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k + 2} + \ldots + \frac{1}{2k} > \frac{13}{24}[/tex] - верно, то при прибавки положительного числа [tex]\dfrac{1}{2(k + 1)}[/tex] (так как [tex]k \in \mathbb N[/tex]) неравенстов также будет выполнятся.

Утверждение для [tex]n = k + 1[/tex] верно, тогда методом математической индукции доказано, что [tex]\boxed{\displaystyle \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}}[/tex] при [tex]n \geq 2[/tex] и [tex]n \in \mathbb N[/tex].

22.23

Воспользуемся методом математической индукции:

[tex]\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{2n - 1}{2n} \leq \frac{1}{\sqrt{3n + 1} }; n \in \mathbb N[/tex]

База индукции:

[tex]n = 1;[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{2} \leq \frac{1}{\sqrt{3 \cdot 1 + 1} }[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{2} \leq \frac{1}{\sqrt{3 + 1} }[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{2} \leq \frac{1}{\sqrt{4} }[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{2} = \frac{1}{2}[/tex] - верно

Индуктивный переход:

[tex]\boxed{\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{2k - 1}{2k} \leq \frac{1}{\sqrt{3k + 1} }}[/tex] - пусть верно

Необходимо доказать:

[tex]n = k + 1;[/tex]

[tex]\displaystyle \underbrace{ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{2k - 1}{2k}}_{\leq \dfrac{1}{\sqrt{3k + 1} } } \cdot \frac{2(k + 1) - 1}{2(k + 1)} \leq \frac{1}{\sqrt{3(k + 1) + 1} }[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3k + 1} } \cdot \frac{2(k + 1) - 1}{2(k + 1)} \leq \frac{1}{\sqrt{3(k + 1) + 1} }[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3k + 1} } \cdot \frac{2k + 2 - 1}{2k + 2} \leq \frac{1}{\sqrt{3k + 3 + 1} }[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{2k + 1}{(2k + 2)\sqrt{3k + 1} } \leq \frac{1}{\sqrt{3k + 4} }[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{2k + 1}{2k + 2} \leq \sqrt{\frac{3k + 1}{3k + 4} }[/tex]

[tex]\displaystyle \bigg( \frac{2k + 1}{2k + 2} \bigg)^{2} \leq \bigg( \sqrt{\frac{3k + 1}{3k + 4} } \bigg)^{2}[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{3k + 1}{3k + 4} - \frac{4k^{2} + 4k + 1}{4k^{2} + 8k + 4} \geq 0[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{(3k + 1)(4k^{2} + 8k + 4) - (4k^{2} + 4k + 1)(3k + 4)}{(3k + 4)(4k^{2} + 8k + 4)} \geq 0[/tex]

Так как [tex]k \in \mathbb N[/tex], то знаменатель дроби всегда больше нуля. Проебразуем числитель:

1) [tex](3k + 1)(4k^{2} + 8k + 4) = 12k^{3} + 24k^{2} + 12k + 4k^{2} + 8k + 4 = 12k^{3} + 28k^{2} + 20k +4[/tex]

2)

[tex](3k + 4)(4k^{2} + 4k + 1) = 12k^{3} + 12k + 3k + 16k^{2} + 16k + 4 = 12k^{3} + 16k^{2} + 31k + 4[/tex]

3)

[tex](3k + 1)(4k^{2} + 8k + 4) - (4k^{2} + 4k + 1)(3k + 4) =[/tex]

[tex]= ( 12k^{3} + 28k^{2} + 20k +4) - (12k^{3} + 16k^{2} + 31k + 4) =[/tex]

[tex]= 12k^{3} + 28k^{2} + 20k +4 - 12k^{3} - 16k^{2} - 31k - 4 = 12k^{2} - 11k = k(12k - 11)[/tex]

[tex]k(12k - 11) > 0[/tex]

[tex]12k > 11|:12[/tex]

[tex]k > \dfrac{11}{12}[/tex]

То есть неравенство выполняется при [tex]k \in \mathbb N[/tex]

Утверждение для [tex]n = k + 1[/tex] верно, тогда методом математической индукции доказано, что [tex]\boxed{\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \ldots \cdot \frac{2n - 1}{2n} \leq \frac{1}{\sqrt{3n + 1} }}[/tex] при [tex]n \in \mathbb N[/tex].