Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

[tex]y'=\dfrac{x+2y-3}{x-1}\\\\y'=\dfrac{x-1+2(y-1)}{x-1}\\\\y'=1+2\cdot\dfrac{y-1}{x-1}[/tex]

Замена: [tex]x-1=u,\;y-1=v[/tex].

[tex]v'=1+2\cdot\dfrac{v}{u}[/tex]

Замена: [tex]v=zu,\;\Rightarrow\;v'=v'_{u}=z'u+z[/tex].

[tex]z'u+z=1+2\cdot\dfrac{zu}{u}\\\\z'u=1+z\\\\\dfrac{dz}{1+z}=\dfrac{du}{u}[/tex]

[tex]z=-1,\;\Rightarrow\;\dfrac{v}{u}=-1,\;\Rightarrow\;\dfrac{y-1}{x-1}=-1,\;\Rightarrow\;y=-x+2[/tex] - особое решение

[tex]$\int\dfrac{dz}{1+z}=\int\dfrac{du}{u}$[/tex]

[tex]\ln|1+z|=\ln C|u|[/tex]

[tex]|1+z|=C|u|[/tex]

[tex]1+z=Cu,\;C\in\mathbb{R}[/tex]

[tex]z=Cu-1\\\\\dfrac{v}{u}=Cu-1\\\\\dfrac{y-1}{x-1}=C(x-1)-1\\\\y=C(x-1)^2-x+2[/tex]

Отметим, что указанное нами выше особое решение входит в общее при [tex]C=0[/tex].

Уравнение решено!