Ответ:

1) 4.5

2) 4/3

3) 2

Объяснение:

площадь для первой фигуры интеграл от нуля до трех от функции

(0-(х²-3х))=3х-х²,  равна (3*3²/2-3³/3) -(3*0²/2-0³/3)=13.5-9-0=4.5- ответ третий, здесь первообразная от указанной функции равна 3х²/2-х³/3, а пределы нашел из условия х²-3х=0, х*(х-3)=0; х=0; х=3.

2)1-х²=0, х=±1, т.е. пределы интегрирования от -1 до 1, от функции (1-х²-0), первообразная равна х-х³/3, по формуле Ньютона - Лейбница определенный интеграл равен площади искомой  1-1³/3-( -1-(-1)³/3)=

1-1/3+1-1/3=2-2/3=4/3- это первый ответ

3) площадь равна определенному интегралу от 1 до е от функции

(2/х-0)=2/х, ее первообразная 2㏑IxI, значит, площадь

2㏑IеI-2㏑I1I=2*1-0=2- второй ответ

Verified answer

Ответ:

Найдём площади заданных областей с помощью определённого интеграла .

[tex]1)\ \ \displaystyle y=x^2-3x\ ,\ y=0\\\\S=-\int\limits_0^3\, (x^2-3x)\, dx=-\Big(\frac{x^3}{3} -\frac{3x^2}{2}\Big)\Big|_0^3=-\Big(\frac{3^3}{3}-\frac{3\cdot 9}{2}\Big)=-9+13,5=4,5[/tex]

[tex]2)\ \ y=-x^2+1\ ,\ y=0\\\\-x^2+1=0\ \ ,\ \ x^2=1\ \ ,\ \ x_{1,2}=\pm 1\\\\\displaystyle S=\int\limits_{-1}^1\, (-x^2+1)\, dx=2\int\limits_{0}^1\, (-x^2+1)\, dx=2\cdot \Big(-\frac{x^3}{3}+x\Big)\Big|_0^1=\\\\\\=2\cdot \Big(-\frac{1}{3}+1\Big)=2\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{3}[/tex]

Воспользовались чётностью подынтегральной функции .

[tex]3)\ \ y=\dfrac{2}{x}\ ,\ \ x=e\ ,\ \ x=1\ ,\ \ y=0\\\\\displaystyle S=\int\limits_1^{e}\, \frac{2}{x}\, dx=2\, ln|x|\, \Big|_1^{e}=2\cdot (lne-ln1)=2\cdot (1-0)=2[/tex]