Verified answer

Ответ:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \int\limits^{+\infty}_{1} {\frac{1}{(1 + x)\sqrt{x} } } \, dx = \dfrac{\pi}{2}}}[/tex]

Примечание:

Интеграл 1 рода от положительной функции  [tex]\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{a} {f(x)} \, dx[/tex] сходится если [tex]\exists M[/tex], что [tex]\displaystyle \int\limits^{A}_{a} {f(x)} \, dx \leq M, \forall A \geq a[/tex]

Объяснение:

[tex]\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{1} {\frac{1}{(1 + x)\sqrt{x} } } \, dx = \dfrac{\pi}{2}[/tex]

[tex]\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{1} {\frac{1}{(1 + x)\sqrt{x} } } \, dx[/tex] - несобственный интеграл 1 рода

1) способ решения

(взятие интеграла смотрите ниже(2 способ решения))

По определению несобственного интеграла 1 рода:

[tex]\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{1} {\frac{1}{(1 + x)\sqrt{x} } } \, dx = \lim_{A \to \infty} \int\limits^{A}_{1} {\frac{1}{(1 + x)\sqrt{x} } } \, dx = \lim_{A \to \infty} \Bigg( 2 \ \text{arctg} \sqrt{x} \bigg|^{A}_{1} \Bigg) =[/tex]

[tex]\displaystyle = \lim_{A \to \infty} 2(\text{arctg} \ \sqrt{A} - \text{arctg} \ \sqrt{1} ) = 2\lim_{A \to \infty} (\text{arctg} \ \sqrt{A} - \text{arctg} \ \sqrt{1} ) =[/tex]

[tex]\displaystyle 2 \bigg(\lim_{A \to \infty} \text{arctg} \ \sqrt{A} - \lim_{A \to \infty}\text{arctg} \ \sqrt{1} \bigg)= 2 \bigg(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \bigg) = 2 \bigg \cdot\dfrac{2\pi - \pi }{4} = \dfrac{\pi}{2}[/tex]

(Детальнее о пределе вида [tex]\displaystyle \lim_{A \to \infty} \text{arctg} \ \sqrt{A} = \frac{\pi }{2}[/tex] смотрите в конце 2 способа решения)

2) способ решения (проверка на сходимость через признак)

Пусть [tex]f(x) = \dfrac{1}{(1 + x)\sqrt{x} }[/tex], тогда так как [tex]f(x) > 0[/tex] на промежутке от [tex][1; + \infty)[/tex]

то данный интеграл является несобственный интеграл 1 рода от положительной функции.

Найдем такое [tex]M[/tex], что выполнено условие [tex]\displaystyle \int\limits^{A}_{1} {\frac{1}{(1 + x)\sqrt{x} } } \, dx \leq M, \forall A \geq 1[/tex]

Рассмотрим неопределенный интеграл [tex]\displaystyle \int {\frac{1}{(1 + x)\sqrt{x} } } \, dx[/tex].

[tex]\displaystyle \int {\frac{1}{(1 + x)\sqrt{x} } } \, dx =[/tex]

----------------------------------------

Замена: [tex]\sqrt{x} = t \Longrightarrow x = t^{2}[/tex]

[tex]dx = d(t^{2}) \ dt = 2t \ dt[/tex]

-----------------------------------------

[tex]= \displaystyle \int {\frac{2t \ dt}{(t^{2} + 1)t } } = 2 \int {\frac{ dt}{t^{2} + 1^{2} } } = 2 \ \text{arctg} \ t + C = 2 \ \text{arctg} \sqrt{x} + C[/tex]

Таким образом [tex]\displaystyle \int\limits^{A}_{1} {\frac{1}{(1 + x)\sqrt{x} } } \, dx = 2 \ \text{arctg} \sqrt{x} \bigg|^{A}_{1} = 2(\text{arctg} \ \sqrt{A} - \text{arctg} \ \sqrt{1} ) =[/tex]

[tex]= 2 \bigg (\text{arctg} \ \sqrt{A} - \dfrac{\pi }{4} \bigg) = 2 \ \text{arctg} \ \sqrt{A} - \dfrac{\pi }{2}[/tex]

Так как [tex]E(\text{arctg} \ x) \in \bigg(- \dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2} \bigg)[/tex], то функция [tex]f(A) = 2 \ \text{arctg} \ \sqrt{A} - \dfrac{\pi }{2}[/tex] - ограниченна, а так как функция ограниченна, то [tex]\exists M[/tex], что [tex]f(A) \leq M[/tex], то есть выполнено условие [tex]\displaystyle \int\limits^{A}_{1} {\frac{1}{(1 + x)\sqrt{x} } } \, dx \leq M, \forall A \geq 1[/tex]

Так как [tex]\displaystyle \int {\frac{1}{(1 + x)\sqrt{x} } } \, dx = 2 \ \text{arctg} \sqrt{x} + C[/tex], то:

(при вычислении несобственного интеграла воспользуемся несобственной двойной подстановкой)

[tex]\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{1} {\frac{1}{(1 + x)\sqrt{x} } } \, dx = 2 \ \text{arctg} \sqrt{x} \bigg|^{+\infty}_{1} = 2 \bigg( \lim_{x \to \infty} \text{arctg} \sqrt{x} - \text{arctg} \sqrt{1} \bigg) =[/tex]

[tex]= 2 \bigg(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4} \bigg) = 2 \bigg \cdot\dfrac{2\pi - \pi }{4} = \dfrac{\pi}{2}[/tex].

Так как асимптота графика [tex]y = \text{arctg} \ x[/tex] при [tex]x \to + \infty[/tex] это [tex]y = \dfrac{\pi}{2}[/tex], то и

асимптота графика [tex]y = \text{arctg} \sqrt{x}[/tex] при [tex]x \to + \infty[/tex] это [tex]y = \dfrac{\pi}{2}[/tex], то

[tex]\displaystyle \lim_{x \to \infty} \text{arctg} \sqrt{x} = \dfrac{\pi}{2}[/tex].