Verified answer

Ответ:

11.

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ u'_{s} = \dfrac{e^{s}}{e^{s} + e^{t}} } }[/tex]

[tex]\boxed{ \boldsymbol{u'_{t} = \dfrac{e^{t}}{e^{s} + e^{t}} }}[/tex]

12.

[tex]\boxed{ \boldsymbol{u'_{r} = \dfrac{\phi}{1 + r^{2}\phi^{2}} }}[/tex]

[tex]\boxed{ \boldsymbol{u'_{\phi} = \dfrac{r}{1 + r^{2}\phi^{2}} }}[/tex]

Примечание:

При взятии производной по какой-то переменной, то берем эту производную именно по данной переменной, а все остальные выражения считаем константами.

По таблице производных:

[tex]\boxed{(\ln x)' = \dfrac{1}{x} }[/tex]

[tex]\boxed{(\text{arctg} \ x)' = \dfrac{1}{1 + x^{2} } }[/tex]

Пошаговое объяснение:

11.

[tex]u = \ln(e^{s} + e^{t})[/tex]

[tex]u'_{s} = \dfrac{\partial u}{\partial s} = (\ln(e^{s} + e^{t}))'_{s} = \dfrac{(e^{s} + e^{t})'_{s}}{e^{s} + e^{t}} = \dfrac{(e^{s})'_{s} + (e^{t})'_{s}}{e^{s} + e^{t}} = \dfrac{e^{s}}{e^{s} + e^{t}}[/tex]

[tex]u'_{t} =\dfrac{\partial u}{\partial t} = (\ln(e^{s} + e^{t}))'_{t} = \dfrac{(e^{s} + e^{t})'_{t}}{e^{s} + e^{t}} = \dfrac{(e^{s})'_{t} + (e^{t})'_{t}}{e^{s} + e^{t}} = \dfrac{e^{t}}{e^{s} + e^{t}}[/tex]

12.

[tex]u = \text{arctg}(r \phi)[/tex]

[tex]u'_{r} = \dfrac{\partial u}{\partial r} = (\text{arctg}(r \phi))'_{r} = \dfrac{(r \phi)'_{r}}{1 + r^{2}\phi^{2}} = \dfrac{\phi(r )'_{r}}{1 + r^{2}\phi^{2}} = \dfrac{\phi}{1 + r^{2}\phi^{2}}[/tex]

[tex]u'_{\phi} = \dfrac{\partial u}{\partial \phi} = (\text{arctg}(r \phi))'_{\phi} = \dfrac{(r \phi)'_{\phi}}{1 + r^{2}\phi^{2}} = \dfrac{r(\phi )'_{\phi}}{1 + r^{2}\phi^{2}} = \dfrac{r}{1 + r^{2}\phi^{2}}[/tex]