Verified answer

Ответ:

[tex]y={(x-2)}^{2}, y=4-x, y=0[/tex]

[tex]\int\limits_{0}^{2}(4 - ( - 2 + x)^{2} - x)dx + \int\limits_{2}^{3}(4 - x)dx + \int\limits_{3}^{4} {( - 2 + x)}^{2} dx[/tex]

вычислим первый определённый интеграл:

[tex]\int\limits_{0}^{2}4 - {( - 2 + x)}^{2} - x dx[/tex]

[tex]\int4 - {( - 2 + x)}^{2} - xdx[/tex]

[tex]\int4 - {(x - 2)}^{2} - xdx[/tex]

[tex]\int4 - ({x}^{2} - 2x \times 2 + {2}^{2} ) - xdx[/tex]

[tex]\int4 - ( {x}^{2} - 4x + 4) - xdx[/tex]

[tex]\int4 - {x}^{2} + 4x - 4 - xdx[/tex]

[tex]\int - {x}^{2} + 4x - 4 - 1xdx[/tex]

[tex]\int - {x}^{2} + 3xdx[/tex]

[tex] - \int {x}^{2} dx + \int3xdx[/tex]

находим первый неопределённый интеграл первого определённого интеграла:

[tex] - \int {x}^{2} dx \\ - \frac{ {x}^{2 + 1} }{2 + 1} \\ - \frac{ {x}^{3} }{3} [/tex]

находим второй неопределённый интеграл первого определённого интеграла:

[tex]\int3xdx \\ 3 \times \int{xdx} \\ 3 \times \frac{ {x}^{2} }{2} \\ \frac{ {3x}^{2} }{2} [/tex]

получим:

[tex] - \frac{ {x}^{3} }{3} + \frac{ {3x}^{2} }{2} [/tex]

[tex]( - \frac{ {x}^{3} }{3} + \frac{ {3x}^{2} }{2} ){|}_{0}^{2}[/tex]

[tex] - \frac{ {2}^{3} }{3} + \frac{3 \times {2}^{2} }{2} - ( - \frac{ {0}^{3} }{3} + \frac{3 \times {0}^{2} }{2} )[/tex]

[tex] - \frac{8}{3} + 3 \times 2 - ( - \frac{0}{3} + \frac{3 \times 0}{2} )[/tex]

[tex] - \frac{8}{3} + 6 - ( - 0 + \frac{0}{2} )[/tex]

[tex] - \frac{8}{3} + 6 - 0[/tex]

[tex] - \frac{8}{3} + 6[/tex]

[tex] \frac{10}{3} [/tex]

вычислим второй определённый интеграл:

[tex]\int\limits_{2}^{3} 4 - xdx[/tex]

[tex]\int4 - xdx[/tex]

[tex]\int4dx - \int{xdx}[/tex]

[tex]4x - \frac{ {x}^{2} }{2} [/tex]

[tex](4x - \frac{ {x}^{2} }{2} ){|}_{2}^{3}[/tex]

[tex]4 \times 3 - \frac{ {3}^{2} }{2} - (4 \times 2 - \frac{ {2}^{2} }{2} )[/tex]

[tex]12 - \frac{9}{2} - (8 - 2)[/tex]

[tex]12 - \frac{9}{2} - 6[/tex]

[tex]6 - \frac{9}{2} [/tex]

[tex] \frac{9 - 6}{2} [/tex]

[tex] \frac{3}{2} [/tex]

вычислим третий определённый интеграл:

[tex]\int\limits_{3}^{4} {( - 2 + x)}^{2} dx[/tex]

[tex]\int {( - 2 + x)}^{2} dx[/tex]

[tex]\int {(x - 2)}^{2} dx[/tex]

[tex]\int {x}^{2} - 2x \times 2 + {2}^{2} dx[/tex]

[tex]\int {x}^{2} - 4x + 4dx[/tex]

[tex]\int {x}^{2} dx - \int4xdx + \int4dx[/tex]

найдём первый неопределённый интеграл третьего определённого интеграла:

[tex]\int {x}^{2} dx \\ \frac{ {x}^{2 + 1} }{2 + 1} \\ \frac{ {x}^{3} }{3} [/tex]

найдём второй неопределённый интеграл третьего определённого интеграла:

[tex]\int4xdx \\ - 4 \times \int{xdx} \\ - 4 \times \frac{ {x}^{2} }{2} \\ - {2x}^{2} [/tex]

найдём третий неопределённый интеграл третьего определённого интеграла:

[tex]\int4dx \\ 4x[/tex]

[tex] \frac{ {x}^{3} }{3} - {2x}^{2} + 4x[/tex]

[tex]( \frac{ {x}^{3} }{3} - {2x}^{2} + 4x){|}_{3}^{4}[/tex]

[tex] \frac{ {4}^{3} }{3} - 2 \times {4}^{2} + 4 \times 4 - ( \frac{ {3}^{3} }{3} - 2 \times {3}^{2} + 4 \times 3)[/tex]

[tex] \frac{64}{3} - 2 \times {2}^{4} + 16 - ( {3}^{2} - 2 \times {3}^{2} + 12)[/tex]

[tex] \frac{64}{3} - {2}^{5} + 16 - ( - {3}^{2} + 12)[/tex]

[tex] \frac{64}{3} - 32 + 16 - ( - 9 + 12)[/tex]

[tex] \frac{64}{3} - 32 + 16 - 3[/tex]

[tex] \frac{64}{3} - 19[/tex]

[tex] \frac{7}{3} [/tex]

ПОЛУЧИМ:

[tex] \frac{10}{3} + \frac{3}{2} + \frac{7}{3} [/tex]

[tex] \frac{10 + 7}{3} + \frac{3}{2} [/tex]

[tex] \frac{17}{3} + \frac{3}{2} [/tex]

[tex] \frac{17 \times 2}{3 \times 2} + \frac{3 \times 3}{2 \times 3} [/tex]

[tex] \frac{34}{6} + \frac{9}{6} [/tex]

[tex] \frac{34 + 9}{6} [/tex]

[tex] \frac{43}{6} ≈7.16[/tex]