Ответ:

а) [tex]\boxed{\boldsymbol{ \displaystyle \int\limits_{L} {2xy} \, dx +{x^{2} } \, dy = -4}}[/tex]

б) [tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \int\limits_{L} {xy} \, dx = \pi } }[/tex]

Примечание:

Криволинейный интеграл второго рода по кривой [tex]L[/tex] имеет вид в общем виде:

[tex]\boxed{ \displaystyle \boldsymbol{ \int\limits_{L} {P(x,y)} \, dx +{Q(x,y)} \, dy } }[/tex] - криволинейный интеграл 2 рода

Если кривая L задана уравнением y = y(x) , x ∈ [a;b], где

y = y(x) и ее производная y'(x) непрерывна на отрезке [a;b], то:

[tex]\boxed{ \displaystyle \boldsymbol{ \int\limits_{L} {P(x,y)} \, dx +{Q(x,y)} \, dy = \int\limits^a_b { \bigg ( P(x,y(x)) + Q(x,y(x))y'(x) \bigg ) } \, dx} }[/tex]

Объяснение:

а)

[tex]\displaystyle \int\limits_{L} {2xy} \, dx +{x^{2} } \, dy = -4[/tex]

Где [tex]L[/tex] - отрезок [tex]AB, \ A(2;1), B(2;0)[/tex]

Так как [tex]x_{A} = x_{B} = 2[/tex], то уравнение прямой есть прямая [tex]x = 2[/tex], то есть кривая [tex]L[/tex] задается прямой:

[tex]L:x = 2; x = const \Longrightarrow dx = 0[/tex]

[tex]\displaystyle \int\limits_{L} {2xy} \, dx +{x^{2} } \, dy =\int\limits_{L} {2xy} \cdot 0 +{x^{2} } \, dy = \int\limits_{1}^{0} {2^{2} } \, dy = 4 \cdot y \bigg|_{1}^{0} = 4(0 - 1) = -4[/tex]

б)

[tex]\displaystyle \int\limits_{L} {xy} \, dx = \pi[/tex]

Где [tex]L[/tex] - дуга синусоиды [tex]y = \sin x[/tex] от [tex](0;0)[/tex] до [tex](\pi;0)[/tex]

[tex]L: y = \sin x; x \in [0;\pi ][/tex]

[tex]\displaystyle \int\limits_{L} {xy} \, dx = \int\limits^{\pi}_{0} {x \sin x} \, dx =[/tex]

-------------------------------------------------------------

Интегрирование по частям:

[tex]\boxed{ \displaystyle \int\limits {u} \, dv = uv - \int\limits {v} \, du}[/tex]

[tex]u = x \Longrightarrow du =dx[/tex]

[tex]\displaystyle dv = \sin x \ dx \Longrightarrow v = \int {\sin x} \, dx = - \cos x[/tex]

----------------------------------------------------------------

[tex]\displaystyle = -x \cos x - \int\limits^{\pi}_{0} {-\cos x} \, dx =\int\limits^{\pi}_{0} {\cos x} \, dx -x \cos x = \bigg( \sin x - x \cos x \bigg)\bigg|_{0}^{\pi} =[/tex]

[tex]= \bigg( \sin \pi - \pi \cos \pi \bigg) - \bigg( \sin 0 - 0\cos 0 \bigg) = \bigg( 0 + \pi \ \bigg) - \bigg( 0 - 0 \bigg)= \pi[/tex]