Verified answer

Ответ:

1) [tex]\boldsymbol { \boxed{ \lim_{n \to \infty} a_n = 1,5 } }[/tex]

2) [tex]\boldsymbol { \boxed{ \lim_{n \to \infty} x_n = 1,6 } }[/tex]

Примечание:

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

[tex]S = \dfrac{b_{1}}{1 - q}[/tex]

Объяснение:

1)

[tex]\displaystyle a_{n} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{3^{n}}[/tex]

Рассмотрим последовательность

[tex]b_{n} = \dfrac{1}{3^{n}}[/tex]

[tex]b_{n + 1} = \dfrac{1}{3^{n + 1}}[/tex]

[tex]b_{n + 2} = \dfrac{1}{3^{n + 2}}[/tex]

Так как  [tex]b^{2}_{n + 1} = b_{n} \cdot b_{n + 1}[/tex] - верно, то последовательность [tex]b_{n}[/tex] является геометрической прогрессией.

[tex]b_{1} = \dfrac{1}{3}[/tex]

[tex]q = \dfrac{b_{2}}{b_{1}} =\dfrac{\dfrac{1}{3^{2}} }{\dfrac{1}{3}} = \dfrac{3}{3^{2}} = \dfrac{1}{3}[/tex]

Так как [tex]q < 1[/tex], то данная последовательность [tex]\displaystyle \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{3^{n}}[/tex] является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, тогда [tex]S = \dfrac{b_{1}}{1 - q} = \dfrac{\dfrac{1}{3} }{1 - \dfrac{1}{3} } = \dfrac{\dfrac{1}{3} }{\dfrac{2}{3} } = \dfrac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} = 0,5[/tex].

[tex]\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n =\lim_{n \to \infty} \bigg( 1 + \underbrace{ \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + \ldots + \frac{1}{3^{n}}}_{S} \bigg) = \lim_{n \to \infty} (1 + 0,5) = \lim_{n \to \infty} 1,5 =1,5[/tex]

2)

[tex]\displaystyle x_{n} = \frac{\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \ldots + \frac{1}{2^{n}}}{\displaystyle 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{n}}}[/tex]

По аналогии с 1) примером последовательности [tex]\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \ldots + \frac{1}{2^{n}}[/tex] и

[tex]\displaystyle \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{n}}[/tex] являются суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, тогда:

[tex]S_{2} = \dfrac{\dfrac{1}{2} }{1 - \dfrac{1}{2} } = \dfrac{\dfrac{1}{2} }{\dfrac{1}{2} } =1[/tex]

[tex]S_{5} = \dfrac{\dfrac{1}{5} }{1 - \dfrac{1}{5} } = \dfrac{\dfrac{1}{5} }{\dfrac{4}{5} } = 0,25[/tex]

[tex]\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\displaystyle 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \ldots + \frac{1}{2^{n}}}{\displaystyle 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{n}}} = \frac{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigg( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \ldots + \frac{1}{2^{n}} \bigg)}{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigg( 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{n}} \bigg)} =[/tex]

[tex]= \frac{\displaystyle \lim_{n \to \infty} 1 + \lim_{n \to \infty} \underbrace{ \bigg( \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \ldots + \frac{1}{2^{n}} \bigg)}_{S_{2}} }{\displaystyle \lim_{n \to \infty} 1 +\lim_{n \to \infty} \underbrace{ \bigg( + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^{2}} + \ldots + \frac{1}{5^{n}} \bigg)}_{S_{5}}} = \dfrac{ 1 + \lim_{n \to \infty} S_{2} }{1 + \lim_{n \to \infty} S_{5} } = \dfrac{1 + 1}{1 + 0,25} =[/tex]

[tex]= \dfrac{2}{1,25} =1,6[/tex].