Verified answer

Ответ:

Метод математической индукции:

Для того, чтобы доказать, что некоторое утверждение верно при натуральном [tex]n[/tex] необходимо выполнить следующие условия:

База индукции:

1) Доказать, что утверждение верно при [tex]n = 1[/tex]

Индуктивный переход:

2) Сделать гипотезу, что утверждение верно для [tex]n = k[/tex] и на основании данной гипотезы доказать, что утверждение верно для [tex]n = k + 1[/tex]

Если выполнены утверждения 1) и 2), то исходное утверждение доказано для всех натуральных [tex]n[/tex] методом математической индукции.

Воспользуемся методом математиечской индукции для доказательства неравенства:

[tex]\displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} + \ldots + \frac{x_{n}^{2}}{y_{n}} \geq \frac{(x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n})^{2}}{y_{1} + y_{2} + \ldots + y_{n}}[/tex]

[tex]y_{1}, y_{2}, \ ...,y_{n} > 0[/tex]

База индукции:

[tex]n = 1; \displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} = \displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}}[/tex] - верно  

[tex]n = 2;[/tex]

[tex]\boxed{\displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} \geq \frac{(x_{1} + x_{2})^{2}}{y_{1} + y_{2}}}[/tex] - (*) верно

[tex]\displaystyle \frac{x_{1}^{2}y_{2} + x_{2}^{2}y_{1}}{y_{1}y_{2}} \geq \frac{x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}}{y_{1} + y_{2}} \bigg |\cdot y_{1} y_{2}(y_{1} + y_{2})[/tex]

[tex](y_{1} + y_{2})(x_{1}^{2}y_{2} + x_{2}^{2}y_{1}) \geq y_{1} y_{2}(x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2} + x_{2}^{2})[/tex]

[tex]x_{1}^{2}y_{1}y_{2} + x_{2}^{2}y_{1}^{2} + x_{1}^{2}y_{2}^{2} + x_{2}^{2}y_{1}y_{2} \geq y_{1} y_{2}x_{1}^{2} + 2x_{1}x_{2}y_{1} y_{2} + y_{1} y_{2}x_{2}^{2}[/tex]

[tex]x_{2}^{2}y_{1}^{2} + x_{1}^{2}y_{2}^{2} \geq 2x_{1}x_{2}y_{1} y_{2}[/tex]

[tex]x_{2}^{2}y_{1}^{2} - 2x_{1}x_{2}y_{1} y_{2} + x_{1}^{2}y_{2}^{2} \geq 0[/tex]

[tex](x_{2}y_{1} - x_{1}y_{2})^{2} \geq 0[/tex]

Индуктивный переход:

[tex]n = k;[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} + \ldots + \frac{x_{k}^{2}}{y_{k}} \geq \frac{(x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{k})^{2}}{y_{1} + y_{2} + \ldots + y_{k}}[/tex]

[tex]n = k + 1;[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} + \ldots + \frac{x_{k}^{2}}{y_{k}} + \frac{x_{k + 1}^{2}}{y_{k + 1}} \geq \frac{(x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{k} + x_{k + 1})^{2}}{y_{1} + y_{2} + \ldots + y_{k} + y_{k + 1}}[/tex]

Чтобы доказать утверждение для [tex]n = k + 1[/tex] воспользуемся неравенство (*), которое является верным.

[tex]\displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} + \ldots + \frac{x_{k}^{2}}{y_{k}} + \frac{x_{k + 1}^{2}}{y_{k + 1}} \geq \frac{(x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{k})^{2}}{y_{1} + y_{2} + \ldots + y_{k}} + \frac{x_{k + 1}^{2}}{y_{k + 1}} \geq \frac{(x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{k} + x_{k + 1})^{2}}{y_{1} + y_{2} + \ldots + y_{k} + y_{k + 1}}[/tex]

То есть неравенство (*) было применено к части [tex]\displaystyle \frac{(x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{k})^{2}}{y_{1} + y_{2} + \ldots + y_{k}}[/tex] и к части [tex]\dfrac{x_{k + 1}^{2}}{y_{k + 1}}[/tex] и на основании этого было доказано первоначальное неравенство [tex]\boxed{\displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} + \ldots + \frac{x_{n}^{2}}{y_{n}} \geq \frac{(x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n})^{2}}{y_{1} + y_{2} + \ldots + y_{n}}}[/tex] при условии [tex]y_{1}, y_{2}, \ ...,y_{n} > 0[/tex].