Ответ:

[tex]a_{1} = 1; a_{n + 1} = a_{n} + 8n[/tex]

Найдем несколько первых элементов последовательности:

[tex]a_{1 + 1} = \boldsymbol{ a_{2}} = a_{1} + 8 \cdot 1 = 1 + 8 = \boldsymbol{ 9 } = 3^{2}[/tex]

[tex]a_{2 + 1} = \boldsymbol{ a_{3} }= a_{2} + 8 \cdot 2 = 9 + 16 = \boldsymbol{ 25} = 5^{2}[/tex]

[tex]a_{3 + 1} = \boldsymbol{ a_{4} }= a_{3} + 8 \cdot 3 = 25 + 24 = \boldsymbol{ 49} = 7^{2}[/tex]

Можно сделать гипотезу, что [tex]a_{n + 1} = (2n + 1)^{2}[/tex]

Докажем, что [tex]a_{n + 1} = (2n + 1)^{2} \Longleftrightarrow a_{n + 1} = a_{n} + 8n[/tex] при [tex]a_{1} = 1[/tex]

Воспользуемся методом математической индукции

База индукции:

[tex]n = 1;[/tex]

[tex]a_{2} = 9[/tex] для [tex]a_{1} = 1; a_{n + 1} = a_{n} + 8n[/tex]

[tex]a_{2} = 9[/tex] для [tex]a_{1} = 1;a_{n + 1} = (2n + 1)^{2}[/tex]

Индуктивный переход:

[tex]n = k;[/tex]

[tex]a_{k +1} = (2k + 1)^{2}[/tex] - пусть верно

[tex]n = k+ 1;[/tex]

[tex]a_{k + 2} = (2(k + 1) + 1)^{2} = (2k + 2 + 1)^{2} = (2k + 3)^{2}[/tex]

Необходимо доказать:

[tex]a_{k + 2} = a_{k+1} + 8(k + 1)[/tex]

[tex](2k + 3)^{2} = (2k + 1)^{2} + 8(k + 1)[/tex]

[tex]4k^{2} + 12k + 9 = 4k^{2} + 4k + 1 + 8k + 8[/tex]

[tex]4k^{2} + 12k + 9 = 4k^{2} + 12k + 9[/tex] - верно

То есть доказано, что [tex]a_{n + 1} = (2n + 1)^{2} \Longleftrightarrow a_{n + 1} = a_{n} + 8n[/tex] при [tex]a_{1} = 1[/tex] для обоих последовательностей.

А числа вида [tex](2n + 1)^{2}[/tex] являются квадратами натуральных чисел, так как по определению [tex]n \in \mathbb N[/tex].