Verified answer

Ответ:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {e^{-2x} \sin 2x} \, dx = 0,25} }[/tex]

Объяснение:

[tex]\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {e^{-2x} \sin 2x} \, dx[/tex] - несобственный интеграл 1 рода

Если существует предел существует конечный предел у несобственного интеграла, то данный интеграл является сходящимся.

Рассмотрим неопределенный интеграл [tex]\displaystyle \int {e^{-2x} \sin 2x} \, dx[/tex].

[tex]\displaystyle \int {e^{-2x} \sin 2x} \, dx =[/tex]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Интегрирование по частям:

[tex]u = e^{-2x} \Longrightarrow du = (e^{-2x})' \ dx = -2e^{-2x} \ dx[/tex]

[tex]\displaystyle dv =\sin 2x \, dx \Longrightarrow v = \int {\sin 2x} \, dx = \frac{1}{2} \int {\sin 2x} \, d(2x) = -\frac{\cos 2x}{2}[/tex]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

[tex]\displaystyle = -\frac{e^{-2x} \cos 2x}{2} - \int {-2e^{-2x} \cdot \frac{-\cos 2x}{2}} \, dx = -\frac{e^{-2x} \cos 2x}{2} - \int { e^{-2x} \cos 2x} \, dx =[/tex]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Интегрирование по частям:

[tex]u = e^{-2x} \Longrightarrow du = -2e^{-2x} \ dx[/tex]

[tex]\displaystyle dv =\cos 2x \, dx \Longrightarrow v = \int {\cos 2x} \, dx = \frac{1}{2} \int {\cos 2x} \, d(2x) = \frac{\sin 2x}{2}[/tex]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

[tex]\displaystyle = -\frac{e^{-2x} \cos 2x}{2} - \Bigg(\frac{e^{-2x} \sin 2x}{2} - \int { -2e^{-2x} \cdot \frac{\sin 2x}{2} } \, dx \Bigg) =[/tex]

[tex]\displaystyle = -\frac{e^{-2x} \cos 2x}{2} - \Bigg(\frac{e^{-2x} \sin 2x}{2} + \int { e^{-2x} \sin 2x } \, dx \Bigg) =[/tex]

[tex]\displaystyle = -\frac{e^{-2x} \cos 2x}{2} - \frac{e^{-2x} \sin 2x}{2} - \int { e^{-2x} \sin 2x } \, dx \ ;[/tex]

[tex]\displaystyle \int {e^{-2x} \sin 2x} \, dx = -\frac{e^{-2x} \cos 2x}{2} - \frac{e^{-2x} \sin 2x}{2} - \int { e^{-2x} \sin 2x } \, dx \[/tex]

[tex]\displaystyle 2 \int {e^{-2x} \sin 2x} \, dx = \frac{-e^{-2x} \cos 2x - e^{-2x} \sin 2x}{2}[/tex]

[tex]\displaystyle 2 \int {e^{-2x} \sin 2x} \, dx = -\frac{1}{2e^{2x}} \bigg(\cos 2x + \sin 2x \bigg) \Bigg |:2[/tex]

[tex]\boxed{ \displaystyle \int {e^{-2x} \sin 2x} \, dx = -\frac{1}{4e^{2x}} \bigg(\cos 2x + \sin 2x \bigg) + C}[/tex]

Для вычисления несобственного 1 рода воспользуемся двойной несобственной подстановкой:

[tex]\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {e^{-2x} \sin 2x} \, dx = \Bigg( -\frac{1}{4e^{2x}} \bigg(\cos 2x + \sin 2x \bigg) \Bigg) \Bigg |^{+\infty}_{0} =[/tex]

[tex]\displaystyle = \lim_{x \to \infty} \Bigg( -\frac{1}{4e^{2x}} \bigg(\cos 2x + \sin 2x \bigg) \Bigg) - \Bigg( -\frac{1}{4e^{2 \cdot0}} \bigg(\cos 2 \cdot0+ \sin 2 \cdot0 \bigg) \Bigg)=[/tex]

[tex]\displaystyle = \Bigg( \frac{1}{4e^{0}} \bigg(\cos 0+ \sin 0 \bigg) \Bigg) - \lim_{x \to \infty} \Bigg( \frac{1}{4e^{2x}} \bigg(\cos 2x + \sin 2x \bigg) \Bigg) =[/tex]

[tex]\displaystyle = \Bigg( \frac{1}{4 \cdot 1} \bigg( 1+ 0) \Bigg) - 0 = \frac{1}{4} \cdot 1 =0,25[/tex]