А минимальное [tex]k[/tex] по условию равно 3, то есть неравенство выполнено.
Так как сумма двух положительных чисел больше нуля, то утверждение для [tex]n = k + 1[/tex] верно.
Так как [tex]\boxed{3 \cdot 3^{k} > 4k + 5}[/tex], то неравенство [tex]\boxed{3^{n} > 4n + 1; n \in \mathbb N; n \geq 3}[/tex] доказано методом математической индукции.
22.11
[tex]4^{n} > 3n^{2} + 1; n \in \mathbb N; n \geq 2[/tex]
А минимальное [tex]p[/tex] по условию равно 2, то есть неравенство выполнено.
Так как сумма двух положительных чисел больше нуля, то утверждение для [tex]k = p + 1[/tex] верно.
Так как [tex]\boxed{4 \cdot4^{p} - 2p - 2 - 1 > 0}[/tex], то неравенство [tex]\boxed{4^{k} - 2k - 1 > 0}[/tex] доказано методом математической индукции.
Тогда так как [tex]4^{k} - 2k - 1 > 0[/tex] и [tex]4^{k} - 3k^{2} - 1 > 0[/tex], а сумма двух положительных чисел есть положительное число, то утверждение верно для [tex]n = k + 1[/tex], следовательно исходное неравенство тоже верно и методом математической индукции доказано, что
[tex]\boxed{4^{n} > 3n^{2} + 1; n \in \mathbb N; n \geq 2}[/tex]
Answers & Comments
22.10
Применим метод математической индукции
Шаг 1 n=3 3³>4*3+1 неравенство выполняется
Шаг 2 n=k
Предполагаем, что неравенство имеет место при n=k.
3^k>4k+1 (1)
Шаг 3 покажем , что неравенство имеет место при n=k+1
3^(k+1)=3*3^k 4(k+1)+1=4k+4+1
заменим 4k+1 на заведомо большее
найдем разницу
3*3^k - (4(k+1)+1)>3*3^k-3^k-4=3^k(3-1)-4=
=2*3^k-2*2=2*(3^k-2)>0
неравенство доказано
22.11
Применим метод математической индукции
Шаг 1 n=2 4²>3*2²+1 неравенство выполняется
Шаг 2 n=k
Предполагаем, что неравенство имеет место при n=k.
4^k>3k²+1 (2)
Шаг 3 покажем , что неравенство имеет место при n=k+1
4^(k+1)=4*4^k 3(k+1)^2+1=3k^2+3+1+6k=(3k^2+1)+3+6k
заменим (3k^2+1) на заведомо большее
найдем разницу
4*4^k - ((3k^2+1)+3+6k)=4*4^k-4^k-6k-3=4^k(4-1)-3-6k=
=3*4^k-6k-3=3*(4^k-2k-1)>0
k>=2 положим k=2 4^2-2*2-1>0
неравенство доказано
Ответ:
22.10
[tex]3^{n} > 4n + 1; n \in \mathbb N; n \geq 3[/tex]
[tex]n = 3;[/tex]
[tex]3^{3} \lor 4 \cdot 3 + 1[/tex]
[tex]27 \lor 12 + 1[/tex]
[tex]27 > 13 \Longrightarrow 3^{3} > 4 \cdot 3 + 1[/tex]
[tex]n = k; \boxed{3^{k} > 4k + 1}[/tex] - пусть верно
[tex]3^{k} - 4k - 1 > 0[/tex]
[tex]n = k + 1;3^{k + 1} > 4(k + 1) + 1[/tex]
[tex]3^{k }\cdot 3^{1} > 4k + 4 + 1[/tex]
[tex]3 \cdot 3^{k} > 4k + 5[/tex]
------------------------------------------------------
Необходимо доказать: [tex]3 \cdot 3^{k} > 4k + 5[/tex]
[tex]3 \cdot 3^{k} - 4k - 5 > 0[/tex]
[tex]2 \cdot 3^{k} + (3^{k} - 4k - 1) - 4 > 0[/tex]
По индуктивному предположению [tex]3^{k} - 4k - 1 > 0[/tex]
То, есть нужно доказать, что [tex]2 \cdot 3^{k} - 4 > 0[/tex]
[tex]2 \cdot 3^{k} > 4|:2[/tex]
[tex]3^{k} > 2[/tex]
Прологарифмируем по основанию 3 неравенство ([tex]3^{k} > 0[/tex] по свойству показательной функции)
[tex]\log_{3}{ 3^{k}} > \log_{3}{ 2}[/tex]
[tex]k \log_{3}{ 3^} > \log_{3}{ 2}[/tex]
[tex]k > \log_{3}{ 2}[/tex]
Оценим значение логарифма [tex]\log_{3}{ 2}[/tex]
[tex]\log_{3}{1} < \log_{3}{ 2} < \log_{3}{3}[/tex]
[tex]0 < \log_{3}{ 2} < 1[/tex]
А минимальное [tex]k[/tex] по условию равно 3, то есть неравенство выполнено.
Так как сумма двух положительных чисел больше нуля, то утверждение для [tex]n = k + 1[/tex] верно.
Так как [tex]\boxed{3 \cdot 3^{k} > 4k + 5}[/tex], то неравенство [tex]\boxed{3^{n} > 4n + 1; n \in \mathbb N; n \geq 3}[/tex] доказано методом математической индукции.
22.11
[tex]4^{n} > 3n^{2} + 1; n \in \mathbb N; n \geq 2[/tex]
[tex]n = 2;[/tex]
[tex]4^{2} \lor 3 \cdot 2^{2} + 1[/tex]
[tex]16 \lor 3 \cdot 4 + 1[/tex]
[tex]16 \lor 12 + 1[/tex]
[tex]16 > 13 \Longrightarrow 4^{2} > 3 \cdot 2^{2} + 1[/tex]
[tex]n = k; \boxed{4^{k} > 3k^{2} + 1}[/tex] - пусть верно
[tex]4^{k} - 3k^{2} - 1 > 0[/tex]
[tex]n = k + 1;4^{k + 1} > 3( k + 1)^{2} + 1[/tex]
[tex]4^{k} \cdot 4^{1} > 3( k^{2} +2k + 1) + 1[/tex]
[tex]4\cdot4^{k} > 3k^{2} +6k + 3 + 1[/tex]
[tex]4\cdot4^{k} > 3k^{2} +6k + 4[/tex]
------------------------------------------------------
Необходимо доказать: [tex]4\cdot4^{k} > 3k^{2} +6k + 4[/tex]
[tex]4\cdot4^{k} - 3k^{2} - 6k - 4 > 0[/tex]
[tex]3 \cdot 4^{k} + (4^{k} - 3k^{2} - 1) - 6k - 3 > 0[/tex]
По индуктивному предположению [tex]4^{k} - 3k^{2} - 1 > 0[/tex]
То, есть нужно доказать, что [tex]3 \cdot 4^{k} - 6k - 3 > 0[/tex]
[tex]3 \cdot 4^{k} - 6k - 3 > 0|:3[/tex]
[tex]4^{k} - 2k - 1 > 0[/tex]
[tex]k = 2;[/tex]
[tex]4^{2} - 2 \cdot 2 - 1 \lor 0[/tex]
[tex]16 - 4 - 1 > 0[/tex]
[tex]11 > 0 \Longrightarrow 4^{2} - 2 \cdot 2 - 1 > 0[/tex]
[tex]k = p; \boxed{ 4^{p} - 2p - 1 > 0}[/tex] - пусть верно
[tex]k = p + 1; 4^{p+ 1} - 2(p + 1) - 1 > 0[/tex]
[tex]4^{p} \cdot 4^{1} - (2p + 2) - 1 > 0[/tex]
[tex]4 \cdot4^{p} - 2p - 2 - 1 > 0[/tex]
------------------------------------------------------
Необходимо доказать: [tex]4 \cdot4^{p} - 2p - 2 - 1 > 0[/tex]
[tex]3 \cdot 4^{p} + (4^{p} - 2p - 1) - 2 > 0[/tex]
По индуктивному предположению [tex]4^{p} - 2p - 1 > 0[/tex]
То, есть нужно доказать, что [tex]3 \cdot 4^{p} - 2 > 0[/tex]
[tex]3 \cdot 4^{p} > 2|:3[/tex]
[tex]4^{p} > \dfrac{2}{3}[/tex]
Прологарифмируем по основанию 4 неравенство ([tex]4^{p} > 0[/tex] по свойству показательной функции)
[tex]\log_{4}{ 4^{p}} > \log_{4}{ \dfrac{2}{3} }[/tex]
[tex]p\log_{4}{ 4} > \log_{4}{ \dfrac{2}{3} }[/tex]
[tex]p > \log_{4}{ \dfrac{2}{3} }[/tex]
Оценим значение логарифма [tex]\log_{4}{ \dfrac{2}{3} }[/tex]
[tex]\log_{4}{0,5} < \log_{4}{ \dfrac{2}{3} } < \log_{4}{4}[/tex]
[tex]0,5 < \log_{4}{ \dfrac{2}{3} } < 1[/tex]
А минимальное [tex]p[/tex] по условию равно 2, то есть неравенство выполнено.
Так как сумма двух положительных чисел больше нуля, то утверждение для [tex]k = p + 1[/tex] верно.
Так как [tex]\boxed{4 \cdot4^{p} - 2p - 2 - 1 > 0}[/tex], то неравенство [tex]\boxed{4^{k} - 2k - 1 > 0}[/tex] доказано методом математической индукции.
Тогда так как [tex]4^{k} - 2k - 1 > 0[/tex] и [tex]4^{k} - 3k^{2} - 1 > 0[/tex], а сумма двух положительных чисел есть положительное число, то утверждение верно для [tex]n = k + 1[/tex], следовательно исходное неравенство тоже верно и методом математической индукции доказано, что
[tex]\boxed{4^{n} > 3n^{2} + 1; n \in \mathbb N; n \geq 2}[/tex]