Ответ:

[tex]\frac{1}{In(2)^{2} }[/tex]

Пошаговое объяснение:

Чтобы вычислить несобственный интеграл по определению, записываем его через предел и определенный интеграл —

[tex]\int\limits^{+\infty}_0 {x2^{-x} } \, dx[/tex]

[tex]\lim_{a \to +\infty}(\int\limits^a_0 {x2^{-x} } \, dx )[/tex]

Вычисляем определенный интеграл —

1. Чтобы вычислить определенный интеграл, вначале нужно найти неопределенный — [tex]\int\limits {x2^{-x} } \, dx[/tex]
2. Вычисляем интеграл методом интегрирования по частям — [tex]x \times (-\frac{1}{In(2)\times2^{x} } )-\int\limits {-\frac{1}{In(2)\times2^{x} } } \, dx[/tex]
3. Используем свойство интегралов ∫ a × f (x) dx = a × ∫ f (x) dx, a ∈ ℝ — [tex]x \times (-\frac{1}{In(2)\times2^{x} } )-1\times (-\frac{1}{In(2)})\times \int\limits {\frac{1}{2^{x} } } \, dx[/tex]
4. Упрощаем выражение — [tex]x \times (-\frac{1}{In(2)\times2^{x} }) + \frac{1}{In(2)}\times \int\limits {\frac{1}{2^{x} } } \, dx[/tex]
5. Число 1 в любой степени равно 1 — [tex]x \times (-\frac{1}{In(2)\times2^{x} }) + \frac{1}{In(2)}\times \int\limits {\frac{1^{x} }{2^{x} } } \, dx[/tex]
6. Когда числитель и знаменатель дроби возводятся в одну и ту же степень, дробь возводится в эту же степень — [tex]x \times (-\frac{1}{In(2)\times2^{x} }) + \frac{1}{In(2)}\times \int\limits {(\frac{1}{2 } )^{x} } \, dx[/tex]
7. Используя [tex]\int\limits {a^{x} } \, dx =\frac{a^{x} }{In(a)}[/tex] находим интеграл — [tex]x \times (-\frac{1}{In(2)\times2^{x} }) + \frac{1}{In(2)}\times\frac{(\frac{1}{2})^{x} }{In(\frac{1}{2} )}[/tex]
8. Упрощаем выражение — [tex]-\frac{x}{In(2)\times2^{x} } -\frac{1}{In(2)^{2}\times2^{x} }[/tex]
9. Вычисляем выражение — [tex]-\frac{a}{In(2)\times 2^{a} } -\frac{1}{In(2)^{2}\times 2^{a} } -(-\frac{0}{In(2)\times 2^{0}}-\frac{1}{In(2)^{2} \times2^{0} } )[/tex]
10. Упрощаем выражение — [tex]-\frac{a}{In(2)\times2^{a} } -\frac{1}{In(2)^{2}\times2^{a} } +\frac{1}{In(2)^{2} }[/tex]

Вычисляем предел —

1. Используя "[tex]\lim_{x \to c}[/tex] ((f (x) ± g (x))) = [tex]\lim_{x \to c}[/tex] (f (x)) ± [tex]\lim_{x \to c}[/tex] (g (x))", преобразовываем выражение — [tex]\lim_{a \to +\infty}(-\frac{a}{In(2)\times2^{a} } -\frac{1}{In(2)^{2} \times 2^{a} } )+ \lim_{a \to +\infty}(\frac{1}{In(2)^{2} } )[/tex]
2. Используя "[tex]\lim_{x \to c}[/tex] ((f (x) ± g (x))) = [tex]\lim_{x \to c}[/tex] (f (x)) ± [tex]\lim_{x \to c}[/tex] (g (x))", преобразовываем выражение — [tex]\lim_{a \to+ \infty} (-\frac{a}{In(2)\times2^{a} } )- \lim_{a \to +\infty}(\frac{1}{In(2)^{2}\times2^{a} } )+ \lim_{a \to+ \infty} (\frac{1}{In(2)^{2} } )[/tex]
3. Предел константы равен константе — [tex]\lim_{a \to+ \infty} (-\frac{a}{In(2)\times2^{a} } )- \lim_{a \to +\infty}(\frac{1}{In(2)^{2}\times2^{a} } )+ \frac{1}{In(2)^{2} }[/tex]
4. Используя [tex]\lim_{x \to c}(a \times f (x))=a \times \lim_{x \to c}(f(x))[/tex], преобразовываем выражение — [tex]-\frac{1}{In(2)} \times \lim_{a \to +\infty} (\frac{a}{2^{a} } )- \lim_{a \to +\infty}(\frac{1}{In(2)^{2}\times2^{a} } )+ \frac{1}{In(2)^{2} }[/tex]
5. Вычисляем предел — [tex]-\frac{1}{In(2)} \times \lim_{a \to +\infty} (\frac{a}{2^{a} } )- 0+ \frac{1}{In(2)^{2} }[/tex]
6. Используя [tex]\lim_{x \to +\infty}(\frac{x^{n} }{a^{x} } )=0, a > 1, n \in {\displaystyle \mathbb {N} }[/tex], вычисляем предел — [tex]-\frac{1}{In(2)} \times 0- 0+ \frac{1}{In(2)^{2} }[/tex]
7. Упрощаем выражение — [tex]\frac{1}{In(2)^{2} }[/tex]

Следовательно, решение данного интеграла — [tex]\frac{1}{In(2)^{2} }[/tex]

Ответ:

[tex]\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {x \cdot2^{-x}} \, dx = \frac{1}{\ln^{2} 2}[/tex]

Пошаговое объяснение:

[tex]\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {x \cdot2^{-x}} \, dx[/tex]- несобственный интеграл 1 рода

Если существует предел существует конечный предел у несобственного интеграла, то данный интеграл является сходящимся.

Рассмотрим неопределенный интеграл  [tex]\displaystyle \int {x \cdot2^{-x}} \, dx[/tex].

[tex]\displaystyle \int {x \cdot 2^{-x}} \, dx =[/tex]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Интегрирование по частям:

[tex]u = x \Longrightarrow du = dx[/tex]

[tex]\displaystyle dv = 2^{-x} \, dx \Longrightarrow v = \int {2^{-x} } \, dx = -\int {2^{-x} } \, d(-x) = -\frac{2^{-x}}{\ln 2}[/tex]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

[tex]\displaystyle = -\frac{x \cdot2^{-x}}{\ln 2} - \int {-\frac{2^{-x}}{\ln 2}} \, dx = -\frac{x \cdot2^{-x}}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 2}\int {2^{-x}} \, dx =-\frac{x \cdot2^{-x}}{\ln 2} -\frac{2^{-x}}{\ln^{2} 2} +C =[/tex]

[tex]\displaystyle=-\frac{2^{-x}}{\ln 2} \bigg(x + \frac{1}{\ln 2} \bigg) +C = -\frac{1}{2^{x}\ln 2} \bigg(x + \frac{1}{\ln 2} \bigg) +C[/tex]

Для вычисления несобственного 1 рода воспользуемся двойной несобственной подстановкой:

[tex]\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {x \cdot2^{-x}} \, dx = \Bigg( -\frac{1}{2^{x}\ln 2} \bigg(x + \frac{1}{\ln 2} \bigg) \Bigg) \Bigg |^{+\infty}_{0} =[/tex]

[tex]\displaystyle = \lim_{x \to \infty} \Bigg( -\frac{1}{2^{x}\ln 2} \bigg(x + \frac{1}{\ln 2} \bigg) \Bigg) - \Bigg( -\frac{1}{2^{0}\ln 2} \bigg(0 + \frac{1}{\ln 2} \bigg) \Bigg) =[/tex]

[tex]\displaystyle = \Bigg( \frac{1}{1 \cdot\ln 2} \bigg( \frac{1}{\ln 2} \bigg) \Bigg) - \lim_{x \to \infty} \Bigg( \frac{1}{2^{x}\ln 2} \bigg(x + \frac{1}{\ln 2} \bigg) \Bigg)= \frac{1}{\ln^{2} 2} - 0 = \frac{1}{\ln^{2} 2}[/tex]

[tex]\displaystyle \lim_{x \to \infty} \Bigg( \frac{1}{2^{x}\ln 2} \bigg(x + \frac{1}{\ln 2} \bigg) \Bigg)= \lim_{x \to \infty} \bigg( \frac{x}{2^{x}\ln 2} + \frac{1}{2^{x}\ln^{2} 2} \bigg) =[/tex]

[tex]\displaystyle = \lim_{x \to \infty} \bigg( \frac{x \ln 2 + 1}{2^{x}\ln^{2} 2} \bigg) = \bigg [ \frac{\infty}{\infty} \bigg] = \lim_{x \to \infty} \frac{(x \ln 2 + 1)'}{(2^{x}\ln^{2} 2)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{ \ln 2 }{2^{x}\ln^{2} 2 \cdot \dfrac{1}{\ln 2} } =[/tex]

[tex]\displaystyle = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2^{x}} = 0[/tex]