Verified answer

Ответ:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ (A + B)^{2} \neq A^{2} + 2A \cdot B + B^{2} } }[/tex]

Примечание:

Для того, чтобы умножить матрицу на число нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число

Чтобы сложить 2 матрицы они должны быть одинакового размера, а складываются соответствующие элементы из каждой матрицы

Возводить в степень возможно только квадратные матрицы

Матрицу необходимо возвести в квадрат, то есть умножить саму на себя при этом умножении возможно, так как количество строк будет равно количеству столбцов.

Объяснение:

[tex]A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -6 \end{pmatrix}[/tex]

[tex]B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}[/tex]

[tex](A + B)^{2} = A^{2} + 2A \cdot B + B^{2}[/tex] - не верно

1)

[tex]\boldsymbol{(A + B)} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + 2 & -1 + 4 \\ 5 + 8 & -6 + 3 \end{pmatrix} \boldsymbol{ = \begin{pmatrix}5 & 3 \\ 13 &-3 \end{pmatrix} }[/tex]

2)

[tex]\boldsymbol{(A + B)^{2}} = \begin{pmatrix}5 & 3 \\ 13 &-3 \end{pmatrix}^{2} = \begin{pmatrix}5 & 3 \\ 13 &-3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}5 & 3 \\ 13 &-3 \end{pmatrix} =[/tex]

[tex]= \begin{pmatrix}5 \cdot 5 + 3 \cdot 13 & 5 \cdot 3 + 3 \cdot (-3) \\ 13 \cdot 5 + (-3) \cdot 13 &13 \cdot 3 + (-3) \cdot (-3) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}25 + 39 & 15 -9 \\ 65 - 39 &39 + 9 \end{pmatrix} =[/tex]

[tex]\boldsymbol{= \begin{pmatrix} 64 & 6 \\ 26 & 48 \end{pmatrix} }[/tex]

3)

[tex]\boldsymbol{A^{2}} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -6 \end{pmatrix}^{2} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -6 \end{pmatrix} =[/tex]

[tex]= \begin{pmatrix} 3 \cdot3 + (-1) \cdot 5 & 3 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-6) \\ 5 \cdot 3 + (-6) \cdot 5 & 5 \cdot (-1) + (-6) \cdot (-6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 -5 & -3 + 6 \\ 15 - 30 & -5 + 36 \end{pmatrix} =[/tex]

[tex]\boldsymbol{= \begin{pmatrix}4 & 3 \\ -15 & 31 \end{pmatrix} }[/tex]

4)

[tex]\boldsymbol{2A }= 2\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & -6 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 \cdot 3&2 \cdot (-1) \\2 \cdot 5 &2 \cdot (-6) \end{pmatrix} \boldsymbol{ = \begin{pmatrix} 6& -2 \\ 10&-12 \end{pmatrix} }[/tex]

5)

[tex]\boldsymbol{2A \cdot B} = \begin{pmatrix} 6& -2 \\ 10&-12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \cdot 2 + (-2) \cdot 8 & 6 \cdot 4 + (-2) \cdot 3\\ 10 \cdot 2 + (-12) \cdot 8& 10 \cdot 4 + (-12) \cdot 3 \end{pmatrix} =[/tex]

[tex]= \begin{pmatrix} 12 -16 & 24 -6\\ 20 - 96& 40 -36 \end{pmatrix} \boldsymbol{ = \begin{pmatrix} -4 & 18\\ -76& 4\end{pmatrix} }[/tex]

6)

[tex]\boldsymbol{B^{2} }= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}^{2} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 + 4 \cdot 8 & 2 \cdot 4 + 4 \cdot 3 \\ 8 \cdot 2 + 3 \cdot 8 & 8 \cdot 4 + 3 \cdot 3 \end{pmatrix} =[/tex]

[tex]= \begin{pmatrix} 4 + 32 & 8 + 12 \\ 16 + 24 & 32 +9 \end{pmatrix} \boldsymbol{= \begin{pmatrix} 36 &20 \\ 40 & 41 \end{pmatrix}}[/tex]

7)

[tex]\boldsymbol{A^{2} + 2A \cdot B} = \begin{pmatrix}4 & 3 \\ -15 & 31 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 & 18\\ -76& 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 + (-4)& 3 + 18 \\ -15 + (-76) & 31 + 4 \end{pmatrix} =[/tex]

[tex]= \begin{pmatrix}4 -4& 3 + 18 \\ -15 -76 & 31 + 4 \end{pmatrix} \boldsymbol{= \begin{pmatrix}0& 21 \\ -91 & 35 \end{pmatrix}}[/tex]

8)

[tex]\boldsymbol{(A^{2} + 2A \cdot B)^{2} + B^{2}} = \begin{pmatrix}0& 21 \\ -91 & 35 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 36 &20 \\ 40 & 41 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 + 36& 21 + 20 \\ -91 + 40 & 35 + 41 \end{pmatrix} =[/tex]

[tex]\boldsymbol{= \begin{pmatrix} 36 & 41 \\ -51 & 76 \end{pmatrix}}[/tex]

Так как [tex](A + B)^{2} = \begin{pmatrix} 64 & 6 \\ 26 & 48 \end{pmatrix}[/tex], а [tex]A^{2} + 2A \cdot B^{2} + B^{2} = \begin{pmatrix} 36 & 41 \\ -51 & 76 \end{pmatrix}[/tex], то для данных матриц тождество [tex](A + B)^{2} = A^{2} + 2A \cdot B + B^{2}[/tex] - не является справедливым, то есть [tex](A + B)^{2} \neq A^{2} + 2A \cdot B + B^{2}[/tex].