Verified answer

Ответ:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint_{D} {(x + y)} \, dxdy = \frac{208}{15} } }[/tex]

Примечание:

Для вычисления двойного интеграла сведем его к повторному интегралу. Будем интегрировать по x, поэтому приведения в общем

виде к повторному интегралу двойного по области [tex]G[/tex] будет в виде:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint_{G} f(x,y) \, dxdy = \int\limits^a_b \, dx \int\limits^{\phi_{2}(x)}_{\phi_{1}(x)} {f(x,y)} \, dy } }[/tex]

При этом функции [tex]\phi_{1} (x), \phi_{2} (x)[/tex] - функции ограничивающие область  снизу и сверху соответственно (смотрите рис(1)).

Объяснение:

Смотрите рис(2)

Область [tex]D:[/tex]

[tex]x = 0;[/tex]

[tex]y = x^{2} + 2x - 3;[/tex]

[tex]2y = 3x \Longrightarrow y = 1,5x;[/tex]

Найдем вершину графика [tex]y = x^{2} + 2x - 3:[/tex]

[tex]x_{0} = \dfrac{-b}{2a}[/tex] (где [tex]a,b[/tex] коэффициента графика в вида [tex]y = ax^{2} + bx + c[/tex])

[tex]x_{0} = \dfrac{-2}{2} =-1[/tex]

[tex]y(x_{0}) = (-1)^{2} + 2 \cdot (-1) - 3 = 1 -2 - 3 = 1 - 5 = -4[/tex]

Координаты вершины: [tex](-1;-4)[/tex]

Найдем абсциссу пересечения графиков [tex]y = 1,5x[/tex] и [tex]y = x^{2} + 2x - 3[/tex]

[tex]x^{2} + 2x - 3 = 1,5x[/tex]

[tex]x^{2} +0,5x - 3 = 0[/tex]

[tex]D = 0,25 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 0,25 + 12 = 12,25 = 3,5^{2}[/tex]

[tex]x_{1} = \dfrac{-0,5 + 3,5}{2} = \dfrac{3}{2} = 1,5[/tex] - не походит (смотрите рис (2))

[tex]\boxed{ x_{2} = \dfrac{-0,5 - 3,5}{2} = \dfrac{-4}{2} = -2 }[/tex]

Границы интегрирования: от -2 до 0

[tex]\displaystyle \iint_{D} {(x + y)} \, dxdy = \int\limits^{0}_{-2} \, dx \int\limits^{1,5x}_{ x^{2} + 2x - 3} (x + y) \, dy = \int\limits^{0}_{-2} \, dx \bigg( \bigg (xy + \frac{y^{2}}{2} \bigg )\bigg |_{x^{2} + 2x - 3}^{1,5x} \bigg) =[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^{0}_{-2} \bigg( \bigg (xy + \frac{y^{2}}{2} \bigg )\bigg |_{x^{2} + 2x - 3}^{1,5x} \bigg) \, dx =[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^{0}_{-2} \bigg( \bigg (x \cdot1,5x + \frac{(1,5x)^{2}}{2} \bigg )- \bigg( x(x^{2} + 2x - 3) + \frac{( x^{2} + 2x - 3)^{2}}{2} \bigg) \bigg) \, dx =[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^{0}_{-2} \bigg( \bigg (1,5x^{2} + \frac{2,25x^{2} }{2} \bigg )- \bigg(x^{3} + 2x^{2} - 3x + \frac{( x^{2} + 2x - 3)^{2}}{2} \bigg) \bigg) \, dx =[/tex]

Преобразуем подынтегральное выражение:

[tex]\displaystyle \bigg (1,5x^{2} + \frac{2,25x^{2} }{2} \bigg )- \bigg(x^{3} + 2x^{2} - 3x + \frac{( x^{2} + 2x - 3)^{2}}{2} \bigg) =[/tex]

[tex]= \displaystyle \bigg (1,5x^{2} +1,125x^{2} \bigg )- \bigg(x^{3} + 2x^{2} - 3x + \frac{x^{4} + 4x^{2} + 9 + 4x^{3} - 6x^{2} - 12x}{2} \bigg) =[/tex]

[tex]= \displaystyle \bigg (1,5x^{2} +1,125x^{2} \bigg )- \bigg(x^{3} + 2x^{2} - 3x + \frac{x^{4} +4x^{3} - 2x^{2} - 12x + 9 }{2} \bigg) =[/tex]

[tex]= \displaystyle \bigg (1,5x^{2} +1,125x^{2} \bigg )- \bigg(x^{3} + 2x^{2} - 3x + 0,5x^{4} + 2x^{3} - x^{2} - 6x + 4,5 \bigg) =[/tex]

[tex]= \displaystyle \bigg (1,5x^{2} +1,125x^{2} - x^{3} - 2x^{2} + 3x - 0,5x^{4} - 2x^{3} +x^{2} + 6x - 4,5 \bigg) =[/tex]

[tex]= \displaystyle \bigg (1,5x^{2} +1,125x^{2} - x^{3} - 2x^{2} + 3x - 0,5x^{4} - 2x^{3} +x^{2} + 6x - 4,5 \bigg) =[/tex]

[tex]= -0,5x^{4} - 3x^{3} + 1,625x^{2} + 9x - 4,5[/tex]

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

[tex]\displaystyle = \int\limits^{0}_{-2} \bigg( \bigg (1,5x^{2} + \frac{2,25x^{2} }{2} \bigg )- \bigg(x^{3} + 2x^{2} - 3x + \frac{( x^{2} + 2x - 3)^{2}}{2} \bigg) \bigg) \, dx =[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^{0}_{-2} \bigg( -0,5x^{4} - 3x^{3} + 1,625x^{2} + 9x - 4,5 \bigg) \, dx =[/tex]

[tex]=\bigg( -0,5 \cdot \dfrac{ x^{5}}{5} - 3 \cdot \dfrac{x^{4}}{4} + 1,625 \cdot \dfrac{x^{3}}{3} + 9 \cdot \dfrac{x^{2} }{2} - 4,5x \bigg) \bigg|_{-2}^{0} =[/tex]

[tex]=\bigg( -0,5 \cdot \dfrac{(- 2)^{5}}{5} - 3 \cdot \dfrac{(-2)^{4}}{4} + 1,625 \cdot \dfrac{(-2)^{2}}{3} + 9 \cdot \dfrac{(-2)^{2} }{2} - 4,5 \cdot(-2) \bigg) = \dfrac{208}{15}[/tex]