Verified answer

Ответ:

а) [tex]\boxed{\boldsymbol{ \displaystyle \int\limits_{L} {\frac{dl}{x + y} } = \frac{\sqrt{2} }{2} \ln\frac{3}{2}}}[/tex]

б) [tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \int\limits_{L} {(x^{2} + y^{2}) } \, dl = 2\pi a^{3} } }[/tex]

Примечание:

Если кривая [tex]L[/tex] является гладкой функцией [tex]y = p(x)[/tex], где [tex]x \in [a;b][/tex], то:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \int\limits_{L} {f(x,y)} \, dl = \int\limits^a_b {f(x;p(x))\sqrt{1 + ((p'(x))^{2} } } \, dx}}[/tex]

Если кривая [tex]L[/tex] задана в полярных координатах в виде [tex]r = r(\phi)[/tex] и [tex]\phi \in [\alpha ;\beta ][/tex], то:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \int\limits_{L} {f(x,y)} \, dl = \int\limits^{\beta }_{\alpha } {f(r \cos \phi;r \sin \phi)\sqrt{r^{2} + (r_{\phi}')^{2} } } \, d\phi}}[/tex]

Объяснение:

а)

[tex]\displaystyle \int\limits_{L} {\frac{dl}{x + y} } = \frac{\sqrt{2} }{2} \ln\frac{3}{2}[/tex]

Где [tex]L[/tex] - отрезок [tex]AB, \ A(2;4), B(1;3)[/tex]

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид [tex]y = kx + b[/tex], тогда составим уравнение прямой проходящей через точки [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex].

[tex]\displaystyle \left \{ {{x_{A}k + b = y_{A}} \atop {x_{B}k + b = y_{B}}} \right.[/tex]   [tex]\displaystyle \left \{ {{2k + b = 4} \atop k + b = 3}} \right \displaystyle \left \{ {{ b = 4 - 2k } \atop b = 3 - k}} \right \Longrightarrow 4 - 2k = 3 - k[/tex]

[tex]4 - 2k = 3 - k[/tex]

[tex]k = 1[/tex]

[tex]b = 3 - k = 3 - 1 = 2[/tex]

Уравнение прямой проходящей через точки A и B:

[tex]y = x + 2[/tex]

Так как абсцисса точки A равна 2, а точки B равна 1, то x ∈ [1;2], то есть границы интегрирования от 1 до 2.

[tex]\displaystyle \int\limits_{L} {\frac{dl}{x + y} } = \int\limits^{2}_{1} {\frac{1}{x + x + 2}}\sqrt{1 + ((x + 2)')^{2}} \, dx = \int\limits^{2}_{1} {\frac{1}{2x + 2}}\sqrt{1 + (1)^{2}} \, dx=[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^{2}_{1} {\frac{\sqrt{2} }{2x + 2}} \, dx = \frac{\sqrt{2} }{2} \int\limits^{2}_{1} {\frac{1}{x + 1}} \, d(x + 1) = \frac{\sqrt{2} }{2} \bigg( \bigg(\ln|x + 1| \bigg) \bigg|^{2}_{1} \bigg) =[/tex]

[tex]\displaystyle = \frac{\sqrt{2} }{2} \bigg( \ln|2 + 1| - \ln|1 + 1| \bigg) = \frac{\sqrt{2} }{2} \bigg( \ln3 - \ln2 \bigg) = \frac{\sqrt{2} }{2} \ln\frac{3}{2}[/tex]

б)

[tex]\displaystyle \int\limits_{L} {(x^{2} + y^{2}) } \, dl = 2\pi a^{3}[/tex]

Где [tex]L[/tex] - окружность [tex]x^{2} + y^{2} = a^{2}[/tex]

Переход от полярной к декартовой системе координат осуществляется по формулам:

[tex]\displaystyle \left \{ {{x=r \cos \phi} \atop {y = r \sin \phi}} \right.[/tex]

Запишем уравнение окружности (кривой [tex]L[/tex]) в поляной системе координат:

[tex]x^{2} + y^{2} = a^{2}[/tex]

[tex](r \cos \phi)^{2} + (r \sin \phi)^{2} = a^{2}[/tex]

[tex]r^{2} \cos^{2} \phi + r^{2} \sin^{2} \phi = a^{2}[/tex]

[tex]r^{2} (\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi) = a^{2}[/tex]

[tex]r^{2} = a^{2}[/tex] и так как [tex]a -[/tex] радиус окружность, а полярный радиус [tex](r)[/tex] всегда больше нуля, то [tex]r = a[/tex].

Интегрируем вдоль полной поэтому угол будет меняться от 0 до 2π и полярный радиус от 0 до a, таким образом криволинейный интеграл в полярных координатах записывается следующим образом:

[tex]\displaystyle \int\limits_{L} {(x^{2} + y^{2}) } \, dl =\int\limits^{2\pi }_{0} {a^{2}\sqrt{a^{2} + (a)_{\phi}'} } \, d\phi = a^{2}\int\limits^{2\pi }_{0} {\sqrt{a^{2}} } \, d\phi=a^{2}\int\limits^{2\pi }_{0} {a} \, d\phi = a^{3}\int\limits^{2\pi }_{0} {1} \, \phi =[/tex]

[tex]= a^{3} \cdot \phi \bigg|^{2\pi}_{0} = a^{3}(2\pi - 0) = 2\pi a^{3}[/tex]