Verified answer

Ответ:

[tex]4[/tex]

Пошаговое объяснение:

Введём обозначение: AD = y.

Выразим катет AC, пользуясь теоремой Пифагора:

[tex]AC=\sqrt{x^{2}-4^{2}}=\sqrt{x^{2}-16} \ ; \quad AC=\sqrt{y^{2}-6^{2}}=\sqrt{y^{2}-36} \ ;[/tex]

[tex]\sqrt{y^{2}-36}=\sqrt{x^{2}-16} \ ;[/tex]

[tex]y^{2}-36=x^{2}-16;[/tex]

[tex]y^{2}=x^{2}+36-16;[/tex]

[tex]y=\sqrt{x^{2}+20} \Rightarrow AD=\sqrt{x^{2}+20} \ ;[/tex]

Найдём неизвестную сторону через площади треугольника:

[tex]S_{ABD}=\dfrac{1}{2}AC \cdot BD=\dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot \sqrt{x^{2}-16}=5\sqrt{x^{2}-16} \ ;[/tex]

С другой стороны, площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

[tex]S_{ABD}=\sqrt{p(p-AB)(p-AD)(p-BD)} \ , \ p=\dfrac{AB+BD+AD}{2};[/tex]

[tex]p=\dfrac{x+10+\sqrt{x^{2}+20}}{2} \ ;[/tex]

[tex]p-AB=\dfrac{x+10+\sqrt{x^{2}+20}}{2}-x=\dfrac{10-x+\sqrt{x^{2}+20}}{2};[/tex]

[tex]p-AD=\dfrac{x+10+\sqrt{x^{2}+20}}{2}-\sqrt{x^{2}+20}=\dfrac{x+10-\sqrt{x^{2}+20}}{2};[/tex]

[tex]p-BD=\dfrac{x+10+\sqrt{x^{2}+20}}{2}-10=\dfrac{x-10+\sqrt{x^{2}+20}}{2};[/tex]

Упростим подкоренное выражение:

[tex]p(p-AB)(p-AD)(p-BD)=\dfrac{x+10+\sqrt{x^{2}+20}}{2} \cdot \dfrac{10-x+\sqrt{x^{2}+20}}{2} \cdot[/tex]

[tex]\cdot \dfrac{x+10-\sqrt{x^{2}+20}}{2} \cdot \dfrac{x-10+\sqrt{x^{2}+20}}{2}=\dfrac{1}{8} \cdot (x+10+\sqrt{x^{2}+20})\cdot[/tex]

[tex]\cdot (x+10-\sqrt{x^{2}+20}) \cdot (-(x-10-\sqrt{x^{2}+20}) \cdot (x-10+\sqrt{x^{2}+20}))=[/tex]

[tex]=-\dfrac{1}{8} \cdot ((x+10)^{2}-(\sqrt{x^{2}+20})^{2}) \cdot ((x-10)^{2}-(\sqrt{x^{2}+20})^{2})=[/tex]

[tex]=-\dfrac{1}{8} \cdot (x^{2}+20x+100-x^{2}-20) \cdot (x^{2}-20x+100-x^{2}-20)=[/tex]

[tex]=-\dfrac{1}{8} \cdot (20x+80) \cdot (80-20x)=\dfrac{1}{8} \cdot (20x+80) \cdot (20x-80)=\dfrac{1}{8} \cdot ((20x)^{2}-80^{2})=[/tex]

[tex]=\dfrac{1}{8} \cdot (400x^{2}-6400)=50x^{2}-800;[/tex]

[tex]S_{ABD}=\sqrt{50x^{2}-800} \ ; \quad S_{ABD}=5\sqrt{x^{2}-16} \ ;[/tex]

[tex]\sqrt{50x^{2}-800}=5\sqrt{x^{2}-16} \ ;[/tex]

[tex]\sqrt{50(x^{2}-16)}=\sqrt{25(x^{2}-16)} \ ;[/tex]

[tex]50(x^{2}-16)=25(x^{2}-16);[/tex]

[tex]50(x^{2}-16)-25(x^{2}-16)=0;[/tex]

[tex]25(x^{2}-16)=0;[/tex]

[tex]x^{2}-16=0;[/tex]

[tex]x^{2}=16;[/tex]

[tex]x=\sqrt{16}=4;[/tex]