Ответ:

[tex]\boxed{ \boldsymbol {V = \frac{128}{15} } }[/tex] кубических единиц

Примечание:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle V = \iint_{G} f(x,y) \, dxdy }}[/tex] - объем цилиндрического тела с образующими, параллельными оси [tex]OZ[/tex] , ограниченное снизу областью [tex]G[/tex], а сверху поверхностью [tex]z = f(x,y) \geq 0[/tex] (область [tex]G[/tex] рис(1) ).

Для вычисления двойного интеграла сведем его к повторному интегралу. Будем интегрировать по x, поэтому приведения в общем

виде к повторному интегралу двойного по области [tex]G[/tex] будет в виде:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint_{G} f(x,y) \, dxdy = \int\limits^a_b \, dx \int\limits^{\phi_{2}(x)}_{\phi_{1}(x)} {f(x,y)} \, dy } }[/tex]

При этом функции [tex]\phi_{1} (x), \phi_{2} (x)[/tex] - функции ограничивающие область [tex]G[/tex]  снизу и сверху соответственно.

Объяснение:

Тело с объемом [tex]V:[/tex] (уравнения в координатах [tex]XYZ)[/tex]

[tex]y = \sqrt{x}[/tex]

[tex]y = 2\sqrt{x}[/tex]

[tex]z = 0[/tex]

[tex]x + z = 4 \Longrightarrow z = 4 - x[/tex]

Найдем прямую пересечения плоскостей [tex]z:[/tex]

[tex]4 - x =0 \Longrightarrow x = 4[/tex]

Область [tex]G:[/tex]

[tex]y = \sqrt{x}[/tex] (ограничивает область в плоскости [tex]XOY[/tex])

[tex]y = 2\sqrt{x}[/tex] (ограничивает область в плоскости [tex]XOY[/tex])

Найдем абсциссу пересечения кривых [tex]y = \sqrt{x}[/tex] и [tex]y = 2\sqrt{x}:[/tex]

[tex]\sqrt{x} = 2\sqrt{x}[/tex]

[tex]\sqrt{x} =0 \Longrightarrow x =0[/tex]

Границы интегрирования: 0 до 4

---------------------------------------------------------------------------------------------

[tex]\displaystyle V = \iint_{G} {(4 - x)} \, dxdy = \int\limits^{4}_{0} \, dx \int\limits^{2\sqrt{x} }_{\sqrt{x} } {(4 - x)} \, dy =[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^{4}_{0} \bigg( \bigg(y(4 - x) \bigg) \bigg|_{\sqrt{x}}^{2\sqrt{x}} \bigg) \, dx = \int\limits^{4}_{0} \bigg( 2\sqrt{x} (4 - x) - \sqrt{x} (4 - x) \bigg) \, dx =[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^{4}_{0} \bigg((2\sqrt{x} - \sqrt{x} ) (4 - x) \bigg) \, dx = \int\limits^{4}_{0} \bigg(\sqrt{x} (4 - x) \bigg) \, dx =[/tex]

------------------------------------------------------------

Замена: [tex]\sqrt{x} = t \Longrightarrow x = t^{2}[/tex]

[tex]dx = d(t^{2}) \ dt[/tex]

[tex]dx = 2t \ dt[/tex]

Границы интегрирования: от 0 до 2

[tex]t_{1} = \sqrt{0} = 0[/tex]

[tex]t_{2} = \sqrt{4} = 2[/tex]

---------------------------------------------------------------

[tex]\displaystyle = \int\limits^{4}_{0} \bigg(\sqrt{x} (4 - x) \bigg) \, dx =\int\limits^{2}_{0} \bigg(t (4 - t^{2}) \cdot2t \bigg) \, dt = \int\limits^{2}_{0} \bigg(2t^{2} (4 - t^{2}) \bigg) \, dt =[/tex]

[tex]\displaystyle =2 \int\limits^{2}_{0} \bigg(4t^{2} - t^{4} \bigg) \, dt = 2 \bigg ( \bigg (4 \cdot \frac{t^{3}}{3} - \frac{t^{5}}{5} \bigg) \bigg |_{0}^{2} \bigg) = 2 \bigg ( \bigg (4 \cdot \frac{2^{3}}{3} - \frac{2^{5}}{5} \bigg) - \bigg (4 \cdot \frac{0^{3}}{3} - \frac{0^{5}}{5} \bigg) \bigg) =[/tex][tex]\displaystyle = 2 \bigg (2^{5} \bigg( \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5} \bigg) = 2^{6} \bigg(\dfrac{5}{15} - \dfrac{3}{15} \bigg ) = 2^{6} \cdot \frac{5 - 3}{15} = \dfrac{2^{7}}{15} = \frac{128}{15}[/tex] кубических единиц