Verified answer

Ответ:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \int\limits^{+ \infty}_{1} {\frac{\ln x}{x^{2} } } \, dx = 1}}[/tex]

Примечание:

Интегрирование по частям:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \int {u} \, dv = uv - \int {v} \, du } }[/tex]

Правило Лопиталя:

Если [tex]\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = \infty[/tex] и функции [tex]f(x),g(x)[/tex] таковы, что дифференцируемы в окрестности точки [tex]a[/tex] и в окрестности этой точки [tex]g'(x) \neq 0[/tex] и существует предел  [tex]\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ f'(x) }{g'(x)}[/tex], то существует [tex]\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ f(x) }{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{ f'(x) }{g'(x)}[/tex].

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{ f(x) }{g(x)} = \bigg [ \frac{\infty}{\infty} \bigg] = \lim_{x \to a} \frac{ f'(x) }{g'(x)}} }[/tex], при условии, что функции [tex]f(x),g(x)[/tex] соответствуют всем выше перечисленным условиям и соответствующие пределы существуют.

Объяснение:

[tex]\displaystyle \int\limits^{+ \infty}_{1} {\frac{\ln x}{x^{2} } } \, dx[/tex]- несобственный интеграл 1 рода

Если существует предел существует конечный предел у несобственного интеграла, то данный интеграл является сходящимся.

Рассмотрим неопределенный интеграл [tex]\displaystyle \int {\frac{\ln x}{x^{2} } } \, dx[/tex] :

[tex]\displaystyle \int {\frac{\ln x}{x^{2} } } \, dx =[/tex]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Интегрирование по частям:

[tex]u = \ln x \Longrightarrow du = d(\ln x) \ dx = \dfrac{dx}{x}[/tex]

[tex]\displaystyle dv = \frac{1}{x^{2} } \, dx \Longrightarrow v = \int \frac{1}{x^{2} } \, dx = \int x^{-2} \, dx = \frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1} =-x^{-1} = -\frac{1}{x}[/tex]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

[tex]\displaystyle = - \frac{ \ln x}{x} - \int - { \frac{dx}{x^{2}} } = \int { \frac{dx}{x^{2}} } - \frac{ \ln x}{x} = -\frac{1}{x} - \frac{ \ln x}{x} + C = -\frac{1 + \ln x}{x} + C[/tex]

Для вычисления несобственного 1 рода воспользуемся двойной несобственной подстановкой.

[tex]\displaystyle \int\limits^{+ \infty}_{1} {\frac{\ln x}{x^{2} } } \, dx = -\frac{1}{x} - \frac{ \ln x}{x} + C = -\frac{1 + \ln x}{x} \bigg|^{+ \infty}_{1} =[/tex]

[tex]\displaystyle = \lim_{x \to \infty} \bigg(-\frac{1 + \ln x}{x} \bigg) - \bigg( -\frac{1 + \ln 1}{1} \bigg)= -\lim_{x \to \infty} \bigg(\frac{1 + \ln x}{x} \bigg) + \bigg( \frac{1 + 0}{1} \bigg)=[/tex]

[tex]\displaystyle = 1 -\lim_{x \to \infty} \bigg(\frac{1 + \ln x}{x} \bigg) = 1 - \bigg[ \frac{\infty}{\infty} \bigg] = 1 -\lim_{x \to \infty} \bigg(\frac{ (1 + \ln x)'}{x'} \bigg) = 1 -\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} =[/tex]

[tex]= 1 - 0 =1[/tex].