Verified answer

Ответ:

а) [tex]\boxed{\boldsymbol{ x \in (3,5; + \infty) }}[/tex]

б) [tex]\boxed{ \boldsymbol{x \in (-6;-4)} }[/tex]

Примечание:

Формула для вычисления определителя матрицы A размером 2 на 2 в общем виде:

[tex]A = \begin{pmatrix} a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} \end{pmatrix}[/tex]

[tex]\boxed{ з = \left|\begin{array}{ccc} a_{1} & a_{2} \\a_{3} & a_{4}\end{array}\right| = a_{1}a_{4} - a_{3}a_{2}}[/tex] - определитель матрицы

Теорема о разложении или теорема Лапласа:

Значение определителя матрицы равно сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Минором элемента [tex]a_{ij}[/tex] определителя порядка [tex]n[/tex] называется определитель порядка [tex](n - 1)[/tex], полученного из данного вычеркиванием [tex]i[/tex]-й строки и [tex]j[/tex]-го столбца и обозначается в виде [tex]M_{ij}[/tex].

Алгебраическим дополнением элемента [tex]a_{ij}[/tex] называют число:

[tex]A_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot M_{ij}[/tex]

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Будем рассматривать элементы матрицы в общем виде в записи:

[tex]\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}&a_{22} &a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}[/tex]

Объяснение:

а)

[tex]\begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 1 & x & -2 \\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix} < 1[/tex]

Вычислим определитель данной матрицы по 2 строке:

[tex]\begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 1 & x & -2 \\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = a_{21} \cdot A_{21} + a_{22} \cdot A_{22} + a_{23} \cdot A_{23} =[/tex]

[tex]= 1 \cdot (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + x \cdot (-1)^{2 + 2} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} + (-2) \cdot (-1)^{2 + 3} \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} =[/tex]

[tex]= -1 \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + x \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} +2 \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} + x \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} +2 \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} =[/tex]

[tex]= (2 -2) + x(-3 - (-1)) +2(6 - 2) = 0 + x(-3 + 1) + 2 \cdot 4 = 8 - 2x[/tex]

[tex]8 - 2x < 1[/tex]

[tex]7 < 2x \ |:2[/tex]

[tex]3,5 < x[/tex]

[tex]x \in (3,5; + \infty)[/tex]

б)

[tex]\begin{vmatrix} 2 & x + 2 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 5 & -3 & x \end{vmatrix} > 0[/tex]

Вычислим определитель данной матрицы по 2 строке:

[tex]\begin{vmatrix} 2 & x + 2 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 5 & -3 & x \end{vmatrix} = a_{21} \cdot A_{21} + a_{22} \cdot A_{22} + a_{23} \cdot A_{23} =[/tex]

[tex]= 1 \cdot (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} x + 2 & -1 \\ -3 & x \end{vmatrix} + 1 \cdot (-1)^{2 + 2} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 5 & x \end{vmatrix} + (-2) \cdot (-1)^{2 + 3} \begin{vmatrix} 2 & x + 2 \\ 5 & -3 \end{vmatrix} =[/tex]

[tex]= -1 \begin{vmatrix} x + 2 & -1 \\ -3 & x \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 5 & x \end{vmatrix} +2 \begin{vmatrix} 2 & x + 2 \\ 5 & -3 \end{vmatrix} =[/tex]

[tex]= -(x(x + 2) - 3) + (2x + 5) + 2(-6 - 5(x + 2)) =[/tex]

[tex]=-(x^{2} + 2x - 3) + 2x + 5 + 2(-6 - 5x - 10) =[/tex]

[tex]=-x^{2} - 2x + 3 + 2x + 5 -12 - 10x - 20 = -x^{2} -10x - 24[/tex]

[tex]-x^{2} -10x - 24 > 0 \ |\cdot (-1)[/tex]

[tex]x^{2} + 10x + 24 < 0[/tex]

[tex]D = 100 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4 = 2^{2}[/tex]

[tex]x_{1} = \dfrac{-10 + 2}{2} = \dfrac{-8}{2} = -4[/tex]

[tex]x_{2} = \dfrac{-10 - 2}{2} = \dfrac{-12}{2} = -6[/tex]

[tex](x + 4)(x + 6) < 0[/tex]

[tex]x \in (-6;-4)[/tex]