Verified answer

Ответ:

а) [tex]\boldsymbol{ \boxed{\Delta = a (x - y)(z - y)(z -x ) } }[/tex]

б) [tex]\boldsymbol{ \boxed{\Delta = -18} }[/tex]

Примечание:

Теорема о разложении или теорема Лапласа:

Значение определителя матрицы равно сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Минором элемента [tex]a_{ij}[/tex] определителя порядка [tex]n[/tex] называется определитель порядка [tex](n - 1)[/tex], полученного из данного вычеркиванием [tex]i[/tex]-й строки и [tex]j[/tex]-го столбца и обозначается в виде [tex]M_{ij}[/tex].

Алгебраическим дополнением элемента [tex]a_{ij}[/tex] называют число:

[tex]A_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot M_{ij}[/tex]

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Будем рассматривать элементы матрицы в общем виде в записи:

[tex]\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}& a_{22} &a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}[/tex]

При сложение элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) с соответствующими элементами другой строки (столбца) умноженными на некоторое число определитель матрицы не меняется.

Определитель матрицы не меняется при элементарных преобразованиях матрицы.

[tex]r_{n}[/tex] - строка с номером n

[tex]c_{n}[/tex] - столбец с номером n

Объяснение:

17.

а)

[tex]\Delta = \begin{vmatrix} x^{2} + a^{2} & ax & 1 \\ y^{2} + a^{2} & ay & 1 \\ z^{2} + a^{2} & az & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x^{2} + a^{2} & ax & 1 \\ y^{2} + a^{2} & ay & 1 \\ z^{2} + a^{2} & az & 1\end{vmatrix} r_{1} - r_{2};r_{3} - r_{1} =[/tex]

[tex]= \begin{vmatrix} (x^{2} + a^{2}) - (y^{2} + a^{2}) & ax - ay & 1 - 1 \\ y^{2} + a^{2} & ay & 1 \\ (z^{2} + a^{2}) - (y^{2} + a^{2}) & az - ay & 1 - 1\end{vmatrix} =[/tex]

[tex]=\begin{vmatrix} x^{2} + a^{2} - y^{2} - a^{2} & ax - ay & 0\\ y^{2} + a^{2} & ay & 1 \\ z^{2} + a^{2} - y^{2} - a^{2} & az - ay & 0\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x^{2} - y^{2} & ax - ay & 0\\ y^{2} + a^{2} & ay & 1 \\ z^{2} - y^{2}& az - ay & 0\end{vmatrix} =[/tex]

Вычислим определитель по 3 столбцу согласно теореме Лапласа:

[tex]= a_{13} \cdot A_{13} + a_{23} \cdot A_{23} + a_{33} \cdot A_{33} = 0 \cdot A_{13} + a_{23} \cdot A_{23} + 0 \cdot A_{33} = a_{23} \cdot A_{23} =[/tex]

[tex]= 1 \cdot (-1)^{2 + 3} \begin{vmatrix} x^{2} - y^{2} & ax - ay \\ z^{2} - y^{2}& az - ay \end{vmatrix} = -1((x^{2} - y^{2})(az - ay ) - (z^{2} - y^{2})(ax - ay))=[/tex]

[tex]= -(a(x - y)(x + y)(z - y ) - a(z - y)(z + y)(x - y))=[/tex]

[tex]= -(a(x - y)(z - y)(x + y -(z + y))) = -(a(x - y)(z - y)(x + y -z - y))=[/tex]

[tex]= -a(x - y)(z - y)(x -z )=a (x - y)(z - y)(z -x )[/tex]

б)

[tex]\Delta = \begin{vmatrix} 2& 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & -1 \\0 & 2 & 2 & -2 \\ 3 & 0 & -2 & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2& 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & -1 \\0 & 2 & 2 & -2 \\ 3 & 0 & -2 & 1\end{vmatrix} r_{3} + 2r_{4} =[/tex]

[tex]= \begin{vmatrix} 2& 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & -1 \\0 + 3 \cdot 2 & 2 + 0 \cdot 2 & 2 + 2 \cdot (-2)& -2 + 2 \cdot 1 \\ 3 & 0 & -2 & 1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2& 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & -1 \\6 & 2 & -2& 0 \\ 3 & 0 & -2 & 1\end{vmatrix} r_{4} + r_{2}=[/tex]

[tex]= \begin{vmatrix} 2& 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & -1 \\6 & 2 & -2& 0 \\ 3 + 1 & 0 + 3 & -2 + 0 & 1 + (-1)\end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 2& 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & -1 \\6 & 2 & -2& 0 \\ 4 & 3 & -2 &0\end{vmatrix}=[/tex]

Вычислим определитель по 4 столбцу согласно теореме Лапласа:

[tex]= a_{14} \cdot A_{14} + a_{24} \cdot A_{24} + a_{34} \cdot A_{34} + a_{44} \cdot A_{44} =[/tex]

[tex]= 0 \cdot A_{14} + (-1) \cdot A_{24} + 0 \cdot A_{34} + 0 \cdot A_{44} = -A_{24} = -1 \cdot (-1)^{2 + 4} M_{24}= -M_{24} =[/tex]

[tex]= -\begin{vmatrix} 2& 1 & 1 \\ 6 & 2 & -2 \\ 4 &3 & -2\end{vmatrix} c_{2} + c_{1} = -\begin{vmatrix} 2& 1 + 1 & 1 \\ 6 & 2 + (-2) & -2 \\ 4 &3 + (-2) & -2\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 2&2 & 1 \\ 6 & 0& -2 \\ 4 &1 & -2\end{vmatrix}r_{1} - 2r_{3} =[/tex]

[tex]= -\begin{vmatrix} 2 - 2 \cdot4&2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot (-2)\\ 6 & 0& -2 \\ 4 &1 & -2\end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} -6&0 & 5\\ 6 & 0& -2 \\ 4 &1 & -2\end{vmatrix} =[/tex]

Вычислим определитель по 2 столбцу согласно теореме Лапласа:

[tex]= -(a_{12} \cdot A_{12} + a_{22} \cdot A_{22} + a_{32} \cdot A_{32})= -(0 \cdot A_{12} + 0 \cdot A_{22} + a_{32} \cdot A_{32})=[/tex]

[tex]= -1 \cdot a_{32} \cdot A_{32} = -1 \cdot 1 \cdot (-1)^{3 + 2} \begin{vmatrix} -6&5 \\ 6 & -2\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -6&5 \\ 6 & -2\end{vmatrix} = ((-6) \cdot (-2) - 6 \cdot 5) =[/tex]

[tex]= 12 - 30 = -18[/tex]