Verified answer

Ответ:

Пределы:

1) [tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x + \sqrt{x} }{x - \sqrt{x} } = -1 } }[/tex]

2) [tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} =0,25 } }[/tex]

3) [tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - \sqrt{x} }{1 - \sqrt{x} } = -3} }[/tex]

Примечание:

[tex]\lim_{x \to a} f(x) = f(a)[/tex] если [tex]\exists f(a)[/tex]

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Если:

1) [tex]\lim_{x \to a} f(x) =\lim_{x \to a} g(x) = 0[/tex] или [tex]\lim_{x \to a} f(x) =\lim_{x \to a} g(x) = \infty[/tex]

2) функции [tex]f(x)[/tex] и [tex]g(x)[/tex] дифференцируемы в окрестности точки [tex]x =a[/tex]

и в окрестности этой точки [tex]g'(x) \neq 0[/tex]

3) [tex]\exists \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)}[/tex]

По правилу Лопиталя:

[tex]\boxed{ \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \bigg [ \dfrac{0}{0} \bigg ] = \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} }[/tex] или [tex]\boxed{ \lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \bigg [ \dfrac{\infty}{\infty} \bigg ] = \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} }[/tex]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Следствие из предела произведения:

[tex]\lim_{x \to a} (k \cdot f(x)) = k \lim_{x \to a} f(x)[/tex]

Объяснение:

39.9

1)[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x + \sqrt{x} }{x - \sqrt{x} } = \bigg [\frac{0}{0} \bigg] = \lim_{x \to 0} \frac{ (x + \sqrt{x})' }{ (x - \sqrt{x})' } = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \dfrac{2}{\sqrt{x} } }{1 - \dfrac{2}{\sqrt{x} } } = \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg] =\lim_{x \to 0} \frac{ \bigg(1 + \dfrac{2}{\sqrt{x} } \bigg)' }{\bigg( 1 - \dfrac{2}{\sqrt{x} } \bigg)'} =[/tex]

[tex]= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{ \bigg( \dfrac{2}{\sqrt{x} } \bigg)' }{ \bigg( -\dfrac{2}{\sqrt{x} } \bigg)'} = -\lim_{x \to 0} \frac{ 2\bigg( \dfrac{1}{\sqrt{x} } \bigg)' }{ 2\bigg( \dfrac{1}{\sqrt{x} } \bigg)'} = -\lim_{x \to 0} \frac{ \bigg( \dfrac{1}{\sqrt{x} } \bigg)' }{ \bigg( \dfrac{1}{\sqrt{x} } \bigg)'} = -\lim_{x \to 0} \frac{-\dfrac{2}{\sqrt{x} } :x }{-\dfrac{2}{\sqrt{x} } : x} =[/tex]

[tex]= -1[/tex]

2)

[tex]\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} = \lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2)}{( \sqrt{x} - 2 )(\sqrt{x} + 2)} = \lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2 } = 0,25[/tex]

3)

[tex]\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - \sqrt{x} }{1 - \sqrt{x} } = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x} )^{4} - \sqrt{x} }{1 - \sqrt{x} } =- \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}((\sqrt{x} )^{3} - 1) }{ \sqrt{x} -1 } =[/tex]

[tex]=\displaystyle - \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1) }{ \sqrt{x} -1 } = - \lim_{x \to 1} \sqrt{x} (x + \sqrt{x} + 1) =[/tex]

[tex]= -\sqrt{1} (1 + \sqrt{1} + 1 )= -(1 + 1 + 1) =-3[/tex]