Verified answer

Ответ:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {e^{-ax} \cos bx} \, dx = \frac{a}{ a^{2} + b^{2}} } }[/tex]

Примечание:

Интегрирование по частям:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \int {u} \, dv = uv - \int {v} \, du } }[/tex]

Пошаговое объяснение:

[tex]\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {e^{-ax} \cos bx} \, dx , \ a > 0[/tex]- несобственный интеграл 1 рода

Если существует предел существует конечный предел у несобственного интеграла, то данный интеграл является сходящимся.

Рассмотрим неопределенный интеграл [tex]\displaystyle \int {e^{-ax} \cos bx} \, dx[/tex].

[tex]\displaystyle \int {e^{-ax} \cos bx} \, dx =[/tex]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Интегрирование по частям:

[tex]u = e^{-ax} \Longrightarrow du = (e^{-ax})' \ dx = -ae^{-ax} \ dx[/tex]

[tex]\displaystyle dv = \cos bx \ dx \Longrightarrow v = \int {\cos bx} \, dx = \frac{1}{b} \int {\cos bx} \, d(bx) = \frac{\sin bx}{b}[/tex]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

[tex]\displaystyle = \frac{e^{-ax}\sin bx}{b} - \int {\frac{-ae^{-ax}\sin bx}{b}} \, dx = \frac{e^{-ax}\sin bx}{b} + \frac{a}{b} \int { e^{-ax}\sin bx } \, dx=[/tex]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Интегрирование по частям:

[tex]u = e^{-ax} \Longrightarrow du = -ae^{-ax} \ dx[/tex]

[tex]\displaystyle dv = \sin bx \ dx \Longrightarrow v = \int {\sin bx} \, dx = \frac{1}{b} \int {\sin bx} \, d(bx) = -\frac{\cos bx}{b}[/tex]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

[tex]\displaystyle = \frac{e^{-ax}\sin bx}{b} + \frac{a}{b} \Bigg( -\frac{e^{-ax}\cos bx}{b} - \int {-\frac{-ae^{-ax}\cos bx}{b}} \, dx \Bigg) =[/tex]

[tex]\displaystyle = \frac{e^{-ax}\sin bx}{b} + \frac{a}{b} \Bigg( -\frac{e^{-ax}\cos bx}{b} -\frac{a}{b} \int {e^{-ax}\cos bx} \, dx \Bigg) =[/tex]

[tex]\displaystyle = \frac{e^{-ax}\sin bx}{b} -\frac{ae^{-ax}\cos bx}{b^{2}} -\frac{a^{2}}{b^{2}} \int {e^{-ax}\cos bx} \, dx \ ;[/tex]

[tex]\displaystyle \int {e^{-ax} \cos bx} \, dx = \frac{e^{-ax}\sin bx}{b} -\frac{ae^{-ax}\cos bx}{b^{2}} -\frac{a^{2}}{b^{2}} \int {e^{-ax}\cos bx} \, dx[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{b^{2} + a^{2}}{b^{2}} \int {e^{-ax} \cos bx} \, dx = \frac{be^{-ax}\sin bx}{b^{2}} -\frac{ae^{-ax}\cos bx}{b^{2}}[/tex]

[tex]\displaystyle\int {e^{-ax} \cos bx} \, dx = \frac{be^{-ax}\sin bx - ae^{-ax}\cos bx}{b^{2} + a^{2}} + C[/tex]

[tex]\displaystyle\int {e^{-ax} \cos bx} \, dx = \frac{b\sin bx - a\cos bx}{e^{ax}(b^{2} + a^{2})} + C[/tex]

Для вычисления несобственного 1 рода воспользуемся двойной несобственной подстановкой:

[tex]\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {e^{-ax} \cos bx} \, dx = \frac{b\sin bx - a\cos bx}{e^{ax}(b^{2} + a^{2})} \Bigg|^{+\infty}_{0} =[/tex]

[tex]\displaystyle = \lim_{x \to \infty} \Bigg(\frac{b\sin bx - a\cos bx}{e^{ax}(b^{2} + a^{2})} \Bigg) - \Bigg(\frac{b\sin (b \cdot 0) - a\cos (b \cdot 0)}{e^{a \cdot 0}(b^{2} + a^{2})} \Bigg) =[/tex]

[tex]\displaystyle = 0 - \Bigg(\frac{b \cdot 0 - a\cdot 1}{(b^{2} + a^{2})} \Bigg) = \frac{a}{ a^{2} + b^{2}}[/tex]