Ответ:

111111111111111111111111111

Ответ:

[tex]\boldsymbol{ \boxed { \displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {\frac{x}{x^{4} + 4} } \, dx = \frac{\pi}{8} } }[/tex]

Примечание:

По таблице интегралов:

[tex]\boxed{\int {\frac{dx}{x^{2} + a^{2}} } = \frac{1}{a} \ \text{arctg} \ \frac{x}{a} + C }[/tex]

По свойствам интегралов:

[tex]\boxed{ \displaystyle \int \sum\limits_{i=1}^n {C_{i}f_{i}(x)} \, dx = \sum\limits_{i=1}^nC_{i} \int {f_{i}(x)} \, dx}[/tex]

Пошаговое объяснение:

[tex]\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {\frac{x}{x^{4} + 4} } \, dx[/tex]- несобственный интеграл 1 рода

Если существует предел существует конечный предел у несобственного интеграла, то данный интеграл является сходящимся.

Рассмотрим неопределенный интеграл  [tex]\displaystyle \int {\frac{x}{x^{4} + 4} } \, dx[/tex].

[tex]\displaystyle \int {\frac{x}{x^{4} + 4} } \, dx = \int {\frac{d(x^{2})}{2(x^{4} + 4)} } = \frac{1}{2} \int {\frac{d(x^{2})}{(x^{2})^{2} + 2^{2}} } =[/tex]

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Замена: [tex]x^{2} = t[/tex]

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

[tex]\displaystyle \frac{1}{2} \int {\frac{dt}{t^{2} + 2^{2}} } = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \ \text{arctg} \bigg(\frac{t}{2} \bigg) + C = \frac{1}{4} \ \text{arctg} \bigg(\frac{x^{2} }{2} \bigg) + C[/tex]

Для вычисления несобственного 1 рода воспользуемся двойной несобственной подстановкой:

[tex]\displaystyle \int\limits^{+\infty}_{0} {\frac{x}{x^{4} + 4} } \, dx = \bigg(\frac{1}{4} \ \text{arctg} \bigg(\frac{x^{2} }{2} \bigg) \bigg) \bigg|^{+\infty}_{0}= \lim_{x \to \infty} \bigg( \frac{1}{4} \ \text{arctg} \bigg(\frac{x^{2} }{2} \bigg) \bigg) - \bigg( \frac{1}{4} \ \text{arctg} \bigg(\frac{0^{2} }{2} \bigg) \bigg)=[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{4}\lim_{x \to \infty} \bigg( \ \text{arctg} \bigg(\frac{x^{2} }{2} \bigg) \bigg) - \bigg( \frac{1}{4} \ \text{arctg} \bigg(\frac{0 }{2} \bigg) \bigg)= \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{2} - \bigg( \frac{1}{4} \cdot0 \bigg)=\frac{\pi}{8} - 0 = \frac{\pi}{8}[/tex]

Так как асимптота графика [tex]y = \text{arctg} \ x[/tex] при [tex]x \to + \infty[/tex] это [tex]y = \dfrac{\pi}{2}[/tex], то [tex]\displaystyle\lim_{x \to \infty} \bigg( \ \text{arctg} \bigg(\frac{x^{2} }{2} \bigg) \bigg)=\frac{\pi}{2}[/tex].