Ответ:

Площадь фигуры (кардиоиды) в полярных координатах .

[tex]\displaystyle \bf r=3\, (1+cos\varphi )\\\\S=\frac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi }\, r^2(\varphi)\, d\varphi =\frac{1}{2}\int\limits_0^{2\pi }\, 9\, (1+cos\varphi )^2\, d\varphi =\frac{9}{2}\cdot 2\int\limits_0^{\pi }\, (1+2cos\varphi +cos^2\varphi )\, d\varphi =\\\\\\=9\int\limits_0^{\pi }\, d\varphi +9\int\limits_0^{\pi }\, 2\, cos\varphi \, d\varphi +\frac{9}{2}\int\limits_0^{\pi }(1+cos2\varphi )\, d\varphi =[/tex]  

[tex]\bf \displaystyle =9\varphi \, \Big|_0^{\pi }+18\cdot sin\varphi \, \Big|_0^{\pi }+\frac{9}{2}\, \Big(\varphi +\frac{1}{2}\cdot sin2\varphi \Big)\Big|_0^{\pi }=\\\\\\=9\pi +18\cdot 0+4,5\pi +0=13,5\pi[/tex]