Ответ:

[tex]\boldsymbol{ \boxed{ X = \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ -1& 3\end{pmatrix}} }[/tex]

Примечание:

Минором элемента [tex]a_{ij}[/tex] определителя порядка [tex]n[/tex] называется определитель порядка [tex]( n - 1)[/tex], полученного из данного вычеркиванием [tex]i[/tex]-й строки и [tex]j[/tex]-го столбца и обозначается в виде [tex]M_{ij}[/tex].

Алгебраическим дополнением элемента [tex]a_{ij}[/tex] называют число:

[tex]A_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot M_{ij}[/tex]

Обратная матрица существует когда определитель исходной матрицы не равен нулю.

Обратная матрица:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ A^{-1} = \dfrac{1}{\text{det} \ A} \cdot A^{*} } }[/tex]

Где:

[tex]A^{*}[/tex] - матрица из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы [tex]A[/tex].

Пошаговое объяснение:

28.

а)

[tex]\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot X = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}[/tex]

Пусть [tex]A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex] и [tex]B =\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}[/tex].

[tex]A^{-1} \cdot| AX = B[/tex]

[tex]A^{-1}AX = A^{-1}B[/tex]

[tex]EX = A^{-1}B[/tex]

[tex]X = A^{-1}B[/tex]

(при условии, что существует матрица обратная к матрице А)

Определитель матрицы А:

[tex]\text{det} \ A = \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1 \cdot 1 - 0 \cdot 1 =-1 \neq 0[/tex].

Так как [tex]\text{det} \ A \neq 0[/tex], то [tex]\exists A^{-1}[/tex].

Алгебраические дополнения матрицы [tex]A:[/tex]

[tex]A_{11} = (-1)^{1 +1} \cdot 1 = 1[/tex]

[tex]A_{12} = (-1)^{1 +2} \cdot 0 = 0[/tex]

[tex]A_{21} = (-1)^{2 +1} \cdot 1 = -1 \cdot 1 =-1[/tex]

[tex]A_{22} = (-1)^{2 +2} \cdot (-1) =-1[/tex]

Союзная матрица [tex]A^{*}:[/tex]

[tex]A^{*} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}[/tex]

Обратная матрица [tex]A^{-1}:[/tex]

[tex]A^{-1} = \dfrac{1}{\text{det} \ A} \cdot A^{*} = \dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]

----------------------------------------------------------------------

[tex]X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) & -1 \cdot 0 + 1 \cdot 3 \\ 0 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) & 0 \cdot 0 + 1 \cdot 3\end{pmatrix}=[/tex]

[tex]= \begin{pmatrix} -2 -1 & 0 +3 \\ 0 -1& 0 + 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 3 \\ -1& 3\end{pmatrix}[/tex]