Verified answer

Ответ:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{\ \ \displaystyle \iint\limits_{x^{2} + y^{2} \leq 9} \sqrt{9 - x^{2} - y^{2}} \, dxdy = 18\pi}}[/tex]

Примечание:

[tex]\boxed{\sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1}[/tex] - основное тригонометрическое тождество

Переход от декартовых координат к полярным в двойном интеграле можно осуществить с помощью якобиана перехода.

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint\limits_{G} {f(x,y)} \, dxdy = \iint\limits_{G} {f(r \cos \phi,r \sin \phi)}r \, drd\phi = \int\limits^{\beta }_{\alpha } \, d\phi \int\limits^{r_{2}(\phi)}_{r_{1}(\phi)} {r} \, dr}}[/tex]

Объяснение:

[tex]\displaystyle \iint\limits_{x^{2} + y^{2} \leq 9} \sqrt{9 - x^{2} - y^{2}} \, dxdy = 18\pi[/tex]

Перейдем в двойном интеграле от полярных к декартовым координатам:

Переход от полярной к декартовой системе координат осуществляется по формулам:

[tex]\displaystyle \left \{ {{x= r \cos \phi} \atop {y = r \sin \phi}} \right.[/tex]

Запишем область по которой происходит интегрирование в полярной системе координат:

[tex]x^{2} + y^{2} \leq 9[/tex]

[tex](r \cos \phi)^{2} + (r \sin \phi)^{2}\leq 9[/tex]

[tex]r^{2} \cos^{2} \phi + r^{2} \sin^{2} \phi \leq 9[/tex]

[tex]r^{2} (\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi) \leq 9[/tex]

[tex]r^{2} \leq 9[/tex]

и так как [tex]a -[/tex] радиус окружности, а полярный радиус [tex](r)[/tex] всегда больше нуля, то [tex]\boldsymbol{ 0\leq r \leq 3}[/tex].

Так как интегрируем по кругу, то полярный угол будет

меняться от 0 до 2π.

(преобразование [tex]((r \cos \phi)^{2} + (r \sin \phi)^{2}) = r^{2})[/tex] (смотрите выше))

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

[tex]\displaystyle \iint\limits_{x^{2} + y^{2} \leq 9} \sqrt{9 - x^{2} - y^{2}} \, dxdy = \iint\limits_{r \leq 3} \sqrt{9 - ( r \cos \phi)^{2} - (r \sin \phi)^{2}} \, rdrd\phi =[/tex]

[tex]\displaystyle = \iint\limits_{r \leq 3} \sqrt{9 - (( r \cos \phi)^{2} + (r \sin \phi)^{2})} \, rdrd\phi = \iint\limits_{r \leq 3} r\sqrt{9 - r^{2}} \, drd\phi =[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^{2\pi }_{0} \, d\phi \int\limits^{3}_{0} { r\sqrt{9 - r^{2}}} \, dr =[/tex]

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Замена: [tex]9 - r^{2} = t \Longrightarrow dt = d(9 - r^{2}) \ dr = -2r \ dr[/tex]

Новые границы интегрирования:

[tex]t_{1} = 9 - r_{1}^{2} = 9 - 0^{2} = 9[/tex]

[tex]t_{2} = 9 - r_{2}^{2} = 9 - 3^{2} = 9 - 9 = 0[/tex]

------------------------------------------------------------------------------------------------------

[tex]\displaystyle = \int\limits^{2\pi }_{0} \, d\phi \int\limits^{3}_{0} \bigg( -\frac{1}{2} \bigg) { r\sqrt{9 - r^{2}}} \, \cdot( -2) \ dr = \int\limits^{2\pi }_{0} \, d\phi -\int\limits^{0}_{9} {\frac{\sqrt{t} }{2} } \, dt = \int\limits^{2\pi }_{0} \, d\phi \int\limits^{9}_{0} {\frac{\sqrt{t} }{2} } \, dt =[/tex]

[tex]= \displaystyle \int\limits^{2\pi }_{0} \, d\phi \int\limits^{9}_{0} {\frac{\sqrt{t} }{2} } \, dt = \frac{1}{2} \int\limits^{2\pi }_{0} \Bigg(\sqrt[2]{t^{3}} \bigg|^{9}_{0} \Bigg) \, d\phi = \frac{1}{2} \int\limits^{2\pi }_{0} \Bigg( \frac{2}{3} \sqrt[2]{t^{3}} \bigg|^{9}_{0} \Bigg) \, d\phi =[/tex]

[tex]\displaystyle =\frac{1}{3} \int\limits^{2\pi }_{0} \bigg( \sqrt[2]{9^{3}} - \sqrt[2]{0^{3}} \bigg) \, d\phi = \frac{1}{3} \int\limits^{2\pi }_{0} \bigg( \sqrt[2]{729} } \bigg) \, d\phi = \frac{27}{3} \cdot \phi \bigg|^{2\pi }_{0} = 9(2\pi - 0) =18\pi[/tex].