Verified answer

Ответ:

а) [tex]\boxed{ \boldsymbol{A^{-1} = \dfrac{1}{63} \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 3 & 12 \end{pmatrix}} }[/tex]

б) [tex]\boxed{ \boldsymbol{A^{-1} = - \dfrac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 & -1 &-9 \\ 5 & 3 & -8 \\ 4 & 1 & -5 \end{pmatrix} } }[/tex]

Примечание:

Теорема Лапласа:

Значение определителя матрицы равно сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Минором элемента [tex]a_{ij}[/tex] определителя порядка [tex]n[/tex] называется определитель порядка [tex](n -1)[/tex], полученного из данного вычеркиванием [tex]i[/tex]-й строки и [tex]j[/tex]-го столбца и обозначается в виде [tex]M_{ij}[/tex].

Алгебраическим дополнением элемента [tex]a_{ij}[/tex] называют число:

[tex]A_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot M_{ij}[/tex]

Определитель матрицы не меняется при элементарных преобразованиях матрицы.

[tex]r_{n}[/tex] - строка с номером n

[tex]c_{n}[/tex] - столбец с номером n

Обратная матрица существует когда определитель исходной матрицы не равен нулю.

Обратная матрица:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ A^{-1} = \dfrac{1}{\text{det} \ A} \cdot A^{*} } }[/tex]

Где:

[tex]A^{*} -[/tex]  матрица из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы А.

Объяснение:

31.

а)

[tex]\begin{pmatrix} 12 & 1 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}[/tex]

Пусть [tex]A = \begin{pmatrix} 12 & 1 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}[/tex]

[tex]\text{det} \ A = \begin{vmatrix} 12 & 1 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} = 12 \cdot 5 - 1 \cdot (-3) = 60 + 3 = 63[/tex]

Так как [tex]\text{det} A \neq 0[/tex], то матрица [tex]A[/tex] имеет обратную матрицу [tex]A^{-1}[/tex].

Алгебраические дополнения матрицы [tex]A:[/tex]

[tex]A_{11} = (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} 5 \end{vmatrix} = 5[/tex]

[tex]A_{12} = (-1)^{1 + 2} \begin{vmatrix} -3 \end{vmatrix} = 3[/tex]

[tex]A_{21} = (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = -1[/tex]

[tex]A_{22} = (-1)^{2 + 2} \begin{vmatrix} 12 \end{vmatrix} = 12[/tex]

[tex]A^{*} = \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 3 & 12 \end{pmatrix}[/tex] - союзная матрица

[tex]A^{-1} = \dfrac{1}{\text{det} \ A} \cdot A^{*} = \dfrac{1}{63} \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ 3 & 12 \end{pmatrix}[/tex] - обратная матрица

б)

[tex]\begin{pmatrix} 1 & 2 &-5 \\ 1 & -3 & 3 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}[/tex]

Пусть [tex]A = \begin{pmatrix} 1 & 2 &-5 \\ 1 & -3 & 3 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}[/tex]

[tex]\text{det} \ A = \begin{vmatrix} 1 & 2 &-5 \\ 1 & -3 & 3 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix}r_{1} - r_{2};r_{3} - r_{2} = \begin{vmatrix} 1 - 1 & 2 - (-3) &-5 -3 \\ 1 & -3 & 3 \\ 1 - 1 & 1 - (-3) & -2 - 3 \end{vmatrix} =[/tex]

[tex]= \begin{vmatrix} 0& 5 &-8 \\ 1 & -3 & 3 \\ 0 &4 & -5 \end{vmatrix} =[/tex]

Вычислим определитель по 1 столбцу согласно теореме Лапласа:

[tex]= a_{11} \cdot A_{11} + a_{21} \cdot A_{21} + a_{31} \cdot A_{31} =0 \cdot A_{11} + 1 \cdot A_{21} +0 \cdot A_{31} = A_{21} =[/tex]

[tex]= 1 \cdot (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} 5 & -8 \\ 4 & -5 \end{vmatrix} = -(-5 \cdot 5 - 4 \cdot (-8)) = -(-25 + 32) = -7[/tex]

Так как [tex]\text{det} A \neq 0[/tex], то матрица [tex]A[/tex] имеет обратную матрицу [tex]A^{-1}[/tex].

Алгебраические дополнения матрицы [tex]A:[/tex]

[tex]A_{11} = (-1)^{1 + 1} \begin{vmatrix} -3 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} -3 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} =((-2) \cdot (-3) - 1 \cdot 3) = 6 - 3 = 3[/tex]

[tex]A_{12} = (-1)^{1 + 2} \begin{vmatrix}1 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -((-2) \cdot1 - 1 \cdot 3) = -(-2 - 3) =5[/tex]

[tex]A_{13} = (-1)^{1 + 3} \begin{vmatrix}1 & -3 \\ 1 &1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & -3 \\ 1 &1 \end{vmatrix} = (1 \cdot1 - 1 \cdot (-3)) = (1 + 3) = 4[/tex]

[tex]A_{21} = (-1)^{2 + 1} \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -((-2) \cdot 2 - 1 \cdot (-5)) = -(-4 + 5) =-1[/tex]

[tex]A_{22} = (-1)^{2 + 2} \begin{vmatrix}1 & -5 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & -5 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (1 \cdot (-2) - 1 \cdot (-5)) = (-2+ 5) = 3[/tex]

[tex]A_{23} = (-1)^{2 + 3} \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) = -(1 - 2) = 1[/tex]

[tex]A_{31} = (-1)^{3 + 1} \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ -3 & 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ -3 & 3 \end{vmatrix} = (2 \cdot 3 - (-5) \cdot (-3)) = (6 - 15) = -9[/tex]

[tex]A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix}1 & -5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix}1 & -5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(1 \cdot 3 - 1 \cdot (-5)) = -(3 + 5) = -8[/tex]

[tex]A_{33} = (-1)^{3 + 3} \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = (1 \cdot (-3) - 1 \cdot 2) = (-3 -2) = -5[/tex]

[tex]A^{*} = \begin{pmatrix} 3 & -1 &-9 \\ 5 & 3 & -8 \\ 4 & 1 & -5 \end{pmatrix}[/tex] - союзная матрица

[tex]A^{-1} = \dfrac{1}{\text{det} \ A} \cdot A^{*} =- \dfrac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 & -1 &-9 \\ 5 & 3 & -8 \\ 4 & 1 & -5 \end{pmatrix}[/tex] - обратная матрица