Verified answer

Ответ:

Метод математической индукции:

Для того, чтобы доказать, что некоторое утверждение верно при натуральном [tex]n[/tex] необходимо выполнить следующие условия:

База индукции:

• 1) Доказать, что утверждение верно при [tex]n = 1[/tex] (или для любого другого конкретного натруального [tex]p[/tex], тогда утверждение будет доказано от [tex]p[/tex] и до всех последюущих натуральных [tex]n[/tex] если удастся доказать индуктивный переход).

Индуктивный переход:

• 2) Сделать гипотезу, что утверждение верно для  и на основании данной гипотезы доказать, что утверждение верно для [tex]n = k + 1[/tex]

Если выполнены утверждения 1) и 2), то исходное утверждение доказано для всех натуральных методом математической индукции.

1.109

Воспользуемся методом математической индукции:

[tex]2^{n} > 2n; n \in \mathbb N; n \geq 3[/tex]

База индукции:

[tex]n = 3;[/tex]

[tex]2^{3} \lor 2 \cdot 3[/tex]

[tex]8 \lor 2 \cdot 3[/tex]

[tex]8 > 6 \Longrightarrow \boxed{ 2^{3} > 2 \cdot 3 }[/tex] - верно

Индуктивный переход:

[tex]n = k;[/tex]

[tex]\boxed{2^{k} > 2k}[/tex] - пусть верно

[tex]2^{k} - 2k > 0[/tex]

Необходимо доказать:

[tex]n = k + 1;[/tex]

[tex]2^{k + 1} > 2(k + 1)[/tex]

[tex]2^{k} \cdot 2^{1} > 2k + 2[/tex]

[tex]2 \cdot 2^{k} - 2k - 2 > 0[/tex]

[tex]\underbrace{ 2^{k} - 2k}_{0} + 2^{k} - 2 > 0[/tex]

[tex]2^{k} - 2 > 0[/tex]

[tex]2^{k} > 2^{1} \Longrightarrow k > 1[/tex]

А так как по условию минимальное [tex]k = 3[/tex], то при [tex]k \in \mathbb N; k \geq 3[/tex] неравенство верно при любых [tex]k[/tex].

Утверждение для [tex]n = k + 1[/tex] верно, тогда методом математической индукции доказано, что [tex]\boxed{2^{n} > 2n}[/tex] при [tex]n \in \mathbb N; n \geq 3[/tex].

1.110

Воспользуемся методом математической индукции:

[tex]2^{n+4} > (n + 4)^{2}; n \in \mathbb N[/tex]

База индукции:

[tex]n = 1;[/tex]

[tex]2^{1+4} \lor (1 + 4)^{2}[/tex]

[tex]2^{5} \lor (5)^{2}[/tex]

[tex]32 > 25 \Longrightarrow \boxed{2^{1+4} > (1 + 4)^{2}}[/tex]

Индуктивный переход:

[tex]n = k;[/tex]

[tex]\boxed{2^{k+4} > (k + 4)^{2}}[/tex] - пусть верно

[tex]2^{k} \cdot 2^{4} > k^{2} + 8k + 16[/tex]

[tex]16 \cdot 2^{k} > k^{2} + 8k + 16[/tex]

[tex]16 \cdot 2^{k} - k^{2} - 8k - 16 > 0| \cdot 2[/tex]

[tex]32 \cdot 2^{k} - 2k^{2} - 16k - 32 > 0[/tex]

Необходимо доказать:

[tex]n = k + 1;[/tex]

[tex]2^{k + 1 +4} > (k + 1 + 4)^{2}[/tex]

[tex]2^{k +5} > (k +5)^{2}[/tex]

[tex]2^{k} \cdot 2^{5} > k^{2} + 10k + 25[/tex]

[tex]32 \cdot 2^{k} - k^{2} - 10k - 25 > 0[/tex]

[tex]\underbrace{ 32 \cdot 2^{k} - 2k^{2} - 16k - 32}_{ > 0} + k^{2} + 6k + 7 > 0[/tex]

[tex]k^{2} + 6k + 7 > 0[/tex]

[tex]k^{2} + 6k + 9 - 2 > 0[/tex]

[tex](k + 3)^{2} > 2[/tex]

[tex]\sqrt{ (k + 3)^{2} } > \sqrt{ 2 }; (k \in \mathbb N)[/tex]

[tex]k + 3 > \sqrt{2}[/tex]

[tex]k > \sqrt{2} - 3[/tex]

Так как [tex]\sqrt{2} - 3 < 0[/tex], то неравенстов верно при [tex]k \in \mathbb N[/tex].

Утверждение для [tex]n = k + 1[/tex] верно, тогда методом математической индукции доказано, что [tex]\boxed{2^{n+4} > (n + 4)^{2}}[/tex] при [tex]n \in \mathbb N[/tex].