Verified answer

Ответ:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \int\limits^{4}_{3} \, dx \int\limits^{2}_{1} {\frac{1}{(x + y)^{2}} } \, dy = \ln \dfrac{25}{24} } }[/tex]

Примечание:

По таблице интегралов:

[tex]\boxed{ \displaystyle \int {x^{n}} \, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C; n \neq -1; x > 0 }[/tex]

[tex]\boxed{ \displaystyle \int {\frac{1}{x} } \, dx = \ln|x| }[/tex]

Объяснение:

Так как при интегрировании по y переменная x является константой, то её можно внести под знак дифференциала.

[tex]\displaystyle \int\limits^{4}_{3} \, dx \int\limits^{2}_{1} {\frac{1}{(x + y)^{2}} } \, dy =\int\limits^{4}_{3} \, dx \bigg( \int\limits^{2}_{1} {\frac{1}{(x + y)^{2}} } \, d(x + y) \bigg) =[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^{4}_{3} \, dx \bigg( \int\limits^{2}_{1} {(x + y)^{-2} } \, d(x + y) \bigg) =\int\limits^{4}_{3} {\bigg({\bigg( -(x + y)^{-1} \bigg) \bigg|_1^2 \bigg)} \, dx =[/tex]

[tex]\displaystyle = -\int\limits^{4}_{3} {\bigg({\bigg( \frac{1}{x + y} \bigg) \bigg|_1^2 \bigg)} \, dx =-\int\limits^{4}_{3} {\bigg( \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x + 1} \bigg)} \, dx =[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^{4}_{3} {\bigg( \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} \bigg)} \, dx = \bigg( \bigg( \ln|x + 1| - \ln |x + 2| \bigg) \bigg |_3^4 \bigg) =[/tex]

[tex]= \bigg( \bigg( \ln \bigg| \dfrac{x + 1}{x + 2} \bigg| \bigg) \bigg |_3^4 \bigg) = \ln \bigg | \dfrac{4 + 1}{4 + 2} \bigg| - \ln \bigg | \dfrac{3 + 1}{3 + 2}\bigg| = \ln \dfrac{5}{6} - \ln \dfrac{4}{5} = \ln \dfrac{\dfrac{5}{6} }{\dfrac{4}{5} } = \ln \dfrac{25}{24}[/tex]