Ответ:

а)0

б)0,5

Объяснение:

Дано: sinα = -√3/2 , cosβ = 1/2 , α∈III , β∈IV

Найти: a)sin(α+β) , б)cos(α-β)

Решение:

Найдем косинус угла α и синус угла β опираясь на основное тригонометрическое тождество sin²α+cos²α=1.

[tex] \displaystyle \sin ^{2} \alpha + \cos {}^{2} \alpha = 1 \\ \bigg( - \frac{ \sqrt{ 3} }{2} \bigg) {}^{ {}^{2} } + \cos {}^{2} \alpha = 1 \\ \cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \bigg( - \frac{ \sqrt{3} }{2} \bigg ) {}^{ {}^{2} } } = \pm \sqrt{1 - \frac{3}{4} } = \pm \sqrt{ \frac{1}{4} } = \pm \frac{1}{2} [/tex]

Т.к по условию α∈III четверти , а косинус угла в этой четверти отрицательный , тогда , данный угол будет с минусом :

[tex] \displaystyle \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{1}{2} [/tex]

Теперь, найдем синус угла β:

[tex] \displaystyle \sin {}^{2} \beta + \cos {}^{2} \beta = 1 \\ \sin {}^{2} \beta + \bigg(\frac{1}{2}\bigg) {}^{ {}^{2} } = 1 \\ \sin \beta = \pm \sqrt{1 - \bigg( \frac{1}{2}\bigg) {}^{ {}^{2} } } = \pm \sqrt{1 - \frac{1}{4} } = \pm \sqrt{ \frac{3}{4} } = \pm \frac{ \sqrt{3} }{2} [/tex]

Т.к по условию β∈IV четверти , а синус угла в этой четверти отрицательный , тогда данный угол будет с минусом :

[tex]\displaystyle \Rightarrow \sin \beta = - \frac{ \sqrt{3} }{2} [/tex]

Теперь решим пункт а) и б) :

а) Воспользуемся формулой сложения :

[tex] \boldsymbol { \sin( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta }[/tex]

Тогда , в нашем случае :

[tex] \displaystyle \sin( \alpha + \beta ) = - \frac{ \sqrt{3} }{2} \cdot \frac{1}{2} + \bigg ( - \frac{1}{2} \bigg) \cdot \bigg( - \frac{ \sqrt{3} }{2} \bigg) = - \frac{ \sqrt{3} }{4} + \frac{ \sqrt{3} }{4} = 0[/tex]

б) Воспользуясь с формулой :

[tex] \boldsymbol{ \cos( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta }[/tex]

В нашем случае получим :

[tex] \displaystyle \cos( \alpha - \beta ) = \bigg( - \frac{1}{2} \bigg) \cdot \frac{1}{2} + \bigg ( - \frac{ \sqrt{3} }{2 } \bigg ) \cdot \bigg( - \frac{ \sqrt{3} }{2} \bigg ) = - \frac{ 1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5[/tex]