Verified answer

Ответ:

По определению:

Числовую последовательность [tex](a_{n})[/tex] называют ограниченной снизу, если существует такое число [tex]c[/tex], что для любого  выполняется [tex]n \in \mathbb N[/tex]неравенство [tex]a_{n} \geq c[/tex].

(Определение через кванторы: [tex]\exists c\in X~\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}\geqslant c[/tex])

То есть необходимо найти такое число [tex]c[/tex], чтобы выполнялось неравенство [tex]a_{n} \geq c[/tex] и этим доказывается по определению, что последовательность ограниченна снизу.

32.9

1) [tex]a_{n} = n^{3} - 8n[/tex]

Найдем первый элемент последовательности [tex]a_{n}:[/tex]

[tex]n = 1: a_{1} = 1^{3} - 8 \cdot 1 = 1 - 8 =-7[/tex]

Можно сделать гипотезу, что что число -7 удовлетворяет условию: [tex]a_{n} \geq c[/tex], где [tex]c = -7[/tex]. Докажем данное утверждение.

[tex]a_{n} \geq -7[/tex]

[tex]n^{3} - 8n \geq -7[/tex]

[tex]n^{3} - 8n +7 \geq 0[/tex]

Так как [tex]n^{3} \geq n^{2}[/tex] при [tex]n \in \mathbb N[/tex], то доказав данное неравенство при [tex]n^{2}[/tex] вместо [tex]n^{3}[/tex] докажем более сильное утверждение, тогда и при [tex]n^{3}[/tex] неравенство также будет выполнятся, то есть необходимо доказать, что [tex]n^{2} - 8n +7 \geq 0[/tex].

Так как число [tex]c[/tex] может быть произвольным, то можем взять число -16, так как если при -16 верно, то и при большем [tex]c[/tex] также верно по свойству транзитивности, то есть при -7.

Тогда с учетом всех модификаций необходимо доказать неравенство: [tex]n^{2} - 8n + 16 \geq 0[/tex]

[tex](n - 4)^{2} \geq 0[/tex] при [tex]n \geq 4[/tex] и теперь необходимо доказать, что [tex]-7 \leq a_{2}[/tex]

и [tex]-7 \leq a_{3}[/tex]

[tex]n = 2: a_{2} = 2^{3} - 8 \cdot 2 = 8 - 16 = -8 < -7[/tex]

[tex]n = 3: a_{3} = 3^{3} - 8 \cdot 3 = 27 - 24 = 3 > -7[/tex]

Тогда если [tex]c = -8[/tex], то все предыдущие условие будут выполняться, то есть при [tex]n \in \mathbb N[/tex] доказано, что последовательность [tex](a_{n})[/tex] является ограниченной снизу.

2) [tex]a_{n} = \dfrac{1 - 2n}{n}[/tex]

Преобразуем последовательность [tex]a_{n}[/tex]:

[tex]a_{n} = \dfrac{1 - 2n}{n} = \dfrac{1 }{n} - \dfrac{2n}{n}= \dfrac{1}{n} - 2[/tex]

К числу [tex]-2[/tex] каждый раз добавляется какое-то число [tex]\dfrac{1}{n} > 0[/tex], поэтому можно предположить, что что число -2 удовлетворяет условию:

[tex]a_{n} \geq c[/tex], где [tex]c = -2[/tex]. Докажем данное утверждение.

[tex]a_{n} \geq -2[/tex]

[tex]\dfrac{1 - 2n}{n} \geq -2 | \cdot n[/tex]

[tex]1 - 2n \geq -2n[/tex]

[tex]1 \geq 0[/tex]

То есть при [tex]n \in \mathbb N[/tex] доказано, что последовательность [tex](a_{n})[/tex] является ограниченной снизу.