Ответ:

38 см

Объяснение:

ABCD - равнобедренная трапеция.

AD : AB = 8 : 3

∠BAD = 60°

BD = 14 см

Пусть х - коэффициент пропорциональности, тогда

AD = 8х,  АВ = 3х.

Проведем ВН и СК - высоты.

ВНКС - прямоугольник, так как все углы прямые.

ВС = НК, ВН = СК.

ΔАВН = ΔDCK по гипотенузе и катету (АВ = CD, так как трапеция равнобедренная, ВН = СК), ⇒ АН = DK.

Из прямоугольного треугольника АВН:

[tex]\sin 60^\circ=\dfrac{BH}{AB}[/tex]

[tex]\dfrac{BH}{3x}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

[tex]BH=\dfrac{3\sqrt{3}x}{2}[/tex]

[tex]\cos 60^\circ=\dfrac{AH}{AB}[/tex]

[tex]\dfrac{AH}{3x}=\dfrac{1}{2}[/tex]

[tex]AH=\dfrac{3x}{2}[/tex]

[tex]HD=AD-AH=8x-\dfrac{3x}{2}=\dfrac{13x}{2}[/tex]

Из прямоугольного треугольника DBH составим уравнение по теореме Пифагора:

[tex]BD^2=BH^2+HD^2[/tex]

[tex]14^2=\left( \dfrac{3\sqrt{3}x}{2}\right)^2+\left( \dfrac{13x}{2}\right)^2[/tex]

[tex]\dfrac{9\cdot 3\cdot x^2}{4}+\dfrac{169x^2}{4}=196[/tex]

[tex]\dfrac{196x^2}{4}=196[/tex]

[tex]x^2=4[/tex]

x = 2

AD = 8 · 2 = 16 см

AB = CD = 3 · 2 = 6 см

AH = 1,5 · 2 = 3 см

BC = HK = AD - 2AH = 16 - 6 = 10 см

P = AD + 2AB + BC = 16 + 12 + 10 = 38 см