Verified answer

Ответ:

Метод математической индукции:

Для того, чтобы доказать, что некоторое утверждение верно при натуральном [tex]n[/tex] необходимо выполнить следующие условия:

База индукции:

• 1) Доказать, что утверждение верно при [tex]n = 1[/tex]

Индуктивный переход:

• 2) Сделать гипотезу, что утверждение верно для [tex]n = k[/tex] и на основании данной гипотезы доказать, что утверждение верно для [tex]n = k + 1[/tex]

Если выполнены утверждения 1) и 2), то исходное утверждение доказано для всех натуральных [tex]n[/tex] методом математической индукции.

22.18

Воспользуемся методом математической индукции:

[tex]\underbrace{ \sqrt{2+ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2} } } }}_{n} < 2[/tex]

База индукции:

[tex]n = 1[/tex]

[tex]\sqrt{2} < 2[/tex] - верно

Индуктивный переход:

[tex]n = k;[/tex]

[tex]\boxed{\underbrace{ \sqrt{2+ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2} } } }}_{k} < 2}[/tex] - пусть верно

Необходимо доказать:

[tex]n = k + 1;[/tex]

[tex]\underbrace{ \sqrt{2 + \underbrace{ \sqrt{2+ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2} } } }}_{k}} }_{k + 1} < 2[/tex]

Так как по индуктивному предположению [tex]\underbrace{ \sqrt{2+ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \ldots + \sqrt{2} } } }}_{k} < 2[/tex], то усилим неравенство для [tex]n = k + 1[/tex] заменим вложенные корни числом 2, так как по индуктивному предположению 2 больше чем [tex]n[/tex] вложенных корней.

Так как все таки для [tex]k[/tex] вложенных корней меньше чем 2, то сумма

2 + 2 = 4 меньше чем 4, то есть корень чуть меньше. Разницу между запишем с помощью [tex]a[/tex]  при [tex]a \to +0[/tex]

[tex]\sqrt{2 + 2 - a} < 2[/tex]

[tex]\sqrt{4 - a} < 2[/tex] - верно

22.19

Воспользуемся методом математической индукции:

[tex]\underbrace{ \sqrt{6+ \sqrt{6 + \sqrt{6 + \ldots + \sqrt{6} } } }}_{n} < 3[/tex]

База индукции:

[tex]n = 1[/tex]

[tex]\sqrt{6} < 3[/tex]

[tex](\sqrt{6})^{2} < 3^{2}[/tex]

[tex]6 < 9 \Longrightarrow \boxed{\sqrt{6} < 3}[/tex] - верно

Индуктивный переход:

[tex]n = k;[/tex]

[tex]\boxed{\underbrace{ \sqrt{6+ \sqrt{6+ \sqrt{6 + \ldots + \sqrt{6} } } }}_{k} < 3}[/tex] - пусть верно

Необходимо доказать:

[tex]n = k + 1;[/tex]

[tex]\underbrace{ \sqrt{6 + \underbrace{ \sqrt{6+ \sqrt{6 + \sqrt{6 + \ldots + \sqrt{6} } } }}_{k}} }_{k + 1} < 3[/tex]

Так как по индуктивному предположению [tex]\underbrace{ \sqrt{6+ \sqrt{6 + \sqrt{6 + \ldots + \sqrt{6} } } }}_{k} < 3[/tex], то усилим неравенство для [tex]n = k + 1[/tex] заменим вложенные корни числом 3, так как по индуктивному предположению 3 больше чем [tex]n[/tex] вложенных корней.

Так как все таки для [tex]k[/tex] вложенных корней меньше чем 3, то сумма

6 + 3 = 9 меньше чем 9, то есть корень чуть меньше. Разницу между запишем с помощью [tex]a[/tex]  при [tex]a \to +0[/tex]

[tex]\sqrt{6+ 3 - a} < 3[/tex]

[tex]\sqrt{9 - a} < 3[/tex] - верно