Verified answer

Ответ:

Существуют ли такие значения a, при котором последовательность является стационарной?

1) [tex]a = 2[/tex] или [tex]a = 3[/tex]

2) (не существует) [tex]a \in \varnothing[/tex] при [tex]a \in \mathbb R[/tex]

Примечание:

Стационарная последовательнсть - это последовательность, все элементы которой равны.

Объяснение:

Последователь является стационарной если все её элементы равны, то есть данная рекуренто заданная последовательность должна быть такой, что [tex]x_{1} = a, x_{2} = a, \ldots ,x_{n} = a[/tex], тогда согласно данному утверждению [tex]x_{n} = x_{n + 1} = a[/tex] и на основании данного утверждения и согласно условию задачи для пунктов 1) и 2) составим соотвествующие уравнения:

1) [tex]x_{1} = a; x_{n+ 1} = x_{n}^{2} - 4x_{n} + 6[/tex]

[tex]a = a^{2} - 4a + 6[/tex]

[tex]a^{2} - 5a + 6 = 0[/tex]

[tex]D = (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 = 1^{2}[/tex]

[tex]a_{1} = \dfrac{5 + 1}{2} = \dfrac{6}{2} = 3[/tex]

[tex]a_{2} = \dfrac{5 - 1}{2} = \dfrac{4}{2} = 2[/tex]

То есть последовательность является станицонарной при [tex]a = 2[/tex] или [tex]a = 3[/tex]

2) [tex]x_{1} = a; x_{n+ 1} = x_{n}^{2} - 3x_{n} + 5[/tex]

[tex]a = a^{2} - 3a + 5[/tex]

[tex]a^{2} - 4a + 5 = 0[/tex]

[tex]D = (-4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0[/tex]

Так как D < 0, то нет действительных корней, то есть не существует такого значения [tex]a[/tex] среди дейтсвительных чисел, что последовательность является стационарной.