Verified answer

Ответ:

1)

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint\limits_{D} {f(x,y)} \, dxdy = \int\limits^{2}_{1} {} \, dx \int\limits^{4}_{0} {f(x,y)} \, dy = \int\limits^{4}_{0} {} \, dy \int\limits^{2}_{1} {f(x,y)} \, dx}}[/tex]

2)

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint\limits_{D} {f(x,y)} \, dxdy = \int\limits^{2}_{0} {} \, dx \int\limits^{x}_{0} {f(x,y)} \, dy + \int\limits^{4}_{2} {} \, dx \int\limits^{4 - x}_{0} {f(x,y)} \, dy }}[/tex]

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint\limits_{D} {f(x,y)} \, dxdy = \int\limits^{2}_{0} {} \, dy \int\limits^{4 - y}_{y} {f(x,y)} \, dx}}[/tex]

3)

[tex]\boxed{\boldsymbol{ \displaystyle \iint\limits_{D} {f(x,y)} \, dxdy = \int\limits^{3}_{1} {} \, dx \int\limits^{x}_{1} {f(x,y)} \, dy + \int\limits^{5}_{3} {} \, dx \int\limits^{6 - x}_{1} {f(x,y)} \, dy}}[/tex]

[tex]\boxed{\boldsymbol{\displaystyle \iint\limits_{D} {f(x,y)} \, dxdy = \int\limits^{3}_{1} {} \, dy \int\limits^{6 - y}_{y} {f(x,y)} \, dx}}[/tex]

Примечание:

Если внутренний интеграл по y, то для расстановки пределов интегрирования в интеграле по y (функции) необходимо "проткнуть графики" по направлению с осью OY. И тот график, который "протыкается" первым пишем в нижний предел интегрирования.

Аналогично расставляю пределы интегрирования во внешнем интеграле мы должны с крайней слева точки пересечения графиков функций мысленно "заливать краской фигуру" по направлению вдоль оси OX. И соответственно в первую прямую, которую мы "встретим" вдоль оси OX ставим в нижний предел интегрирования по dx.

Если внутренний интеграл по x, то для расстановки пределов интегрирования в интеграле по x (функции) необходимо "проткнуть графики" по направлению с осью OX. И тот график, который "протыкается" первым пишем в нижний предел интегрирования.

Аналогично расставляю пределы интегрирования во внешнем интеграле мы должны с крайней слева точки пересечения графиков функций мысленно "заливать краской фигуру" по направлению вдоль оси OY. И соответственно в первую прямую, которую мы "встретим" вдоль оси OY ставим в нижний предел интегрирования по dy.

Объяснение:

1)

Область [tex]D:[/tex]

[tex]x = 1[/tex]

[tex]x = 2[/tex]

[tex]y = 0[/tex]

[tex]y = 4[/tex]

[tex]\displaystyle \iint\limits_{D} {f(x,y)} \, dxdy = \int\limits^{2}_{1} {} \, dx \int\limits^{4}_{0} {f(x,y)} \, dy = \int\limits^{4}_{0} {} \, dy \int\limits^{2}_{1} {f(x,y)} \, dx[/tex]

2)

Область [tex]D:[/tex]

[tex]y = 0[/tex]

[tex]x = y[/tex]

[tex]x + y = 4 \Longleftrightarrow y = 4 - x \Longleftrightarrow x = 4 - y[/tex]

Найдем точку пересечения прямой [tex]y = 4 - x[/tex] и прямой [tex]x = y:[/tex]

[tex]4 - x = x[/tex]

[tex]2x = 4|:2[/tex]

[tex]x = 2[/tex]

[tex]y = 4 - x = 4 - 2 = 2[/tex]

Точка [tex](2;2)[/tex] есть пересечения прямой [tex]y = 4 - x[/tex] и прямой [tex]x = y[/tex].

При рассмотрении внутреннего интеграла по y, область [tex]D[/tex] необходимо разбить на две области [tex]D_{1}[/tex] и [tex]D_{2}[/tex]. Прямая [tex]x = 2[/tex] разбивает  область на две области. Поэтому следует разбить интеграл на 2 области и отдельно вычислять по каждой из областей.

Внутренний интеграл по y:

[tex]\displaystyle \iint\limits_{D} {f(x,y)} \, dxdy =\displaystyle \iint\limits_{D_{1}} {f(x,y)} \, dx dy+ \displaystyle \iint\limits_{D_{2}} {f(x,y)} \, dxdy =[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^{2}_{0} {} \, dx \int\limits^{x}_{0} {f(x,y)} \, dy + \int\limits^{4}_{2} {} \, dx \int\limits^{4 - x}_{0} {f(x,y)} \, dy[/tex]

Внутренний интеграл по x:

[tex]\displaystyle \iint\limits_{D} {f(x,y)} \, dxdy = \int\limits^{2}_{0} {} \, dy \int\limits^{4 - y}_{y} {f(x,y)} \, dx[/tex]

3)

Область [tex]D:[/tex]

[tex]y = x[/tex]

[tex]x + y = 6 \Longleftrightarrow y = 6 - x \Longleftrightarrow x = 6 - y[/tex]

[tex]y = 1[/tex]

Найдем точку пересечения прямой [tex]y = 6 - x[/tex] и прямой [tex]y = x:[/tex]

[tex]6 - x = x[/tex]

[tex]2x = 6|:2[/tex]

[tex]x = 3[/tex]

[tex]y = 6 - x = 6 - 3 = 3[/tex]

Точка [tex](3;3)[/tex] есть пересечения прямой [tex]y = 6 - x[/tex] и прямой [tex]y = x[/tex].

Найдем точку пересечения прямой [tex]y = 6 - x[/tex] и прямой [tex]y = 1:[/tex]

[tex]6 - x = 1 \Longrightarrow x = 5[/tex]

Найдем точку пересечения прямой [tex]y = 1[/tex] и прямой [tex]y = x:[/tex]

[tex]x = 1[/tex]

При рассмотрении внутреннего интеграла по y, область [tex]D[/tex] необходимо разбить на две области [tex]D_{1}[/tex] и [tex]D_{2}[/tex]. Прямая [tex]x = 3[/tex] разбивает  область на две области. Поэтому следует разбить интеграл на 2 области и отдельно вычислять по каждой из областей.

Внутренний интеграл по y:

[tex]\displaystyle \iint\limits_{D} {f(x,y)} \, dxdy =\displaystyle \iint\limits_{D_{1}} {f(x,y)} \, dxdy + \displaystyle \iint\limits_{D_{2}} {f(x,y)} \, dxdy =[/tex]

[tex]\displaystyle = \int\limits^{3}_{1} {} \, dx \int\limits^{x}_{1} {f(x,y)} \, dy + \int\limits^{5}_{3} {} \, dx \int\limits^{6 - x}_{1} {f(x,y)} \, dy[/tex]

Внутренний интеграл по x:

[tex]\displaystyle \iint\limits_{D} {f(x,y)} \, dxdy = \int\limits^{3}_{1} {} \, dy \int\limits^{6 - y}_{y} {f(x,y)} \, dx[/tex]