Verified answer

Ответ:

Пределы:

1) [tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{2x} =2 } }[/tex]

2) [tex]\boxed{ \boldsymbol{\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{3x}{\sin \dfrac{x}{3} } = 9} }[/tex]

3) [tex]\boxed{ \boldsymbol{\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} =\frac{2}{3} } }[/tex]

4) [tex]\boxed{ \boldsymbol{\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} \dfrac{x}{2} }{2x^{2} } = \frac{1}{8} } }[/tex]

Примечание:

Первый замечательный предел:

[tex]\boxed{ \displaystyle \boldsymbol{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 } }[/tex]

Следствие из первого замечательного предела:

[tex]\boxed{ \displaystyle \boldsymbol{ \lim_{x \to x_{0}} \frac{\sin g(x)}{g(x)} = 1 } }[/tex] при условии, что [tex]\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} g(x) = 0[/tex]

--------------------------------------------------------------------

[tex]\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = f(a)[/tex] если [tex]\exists f(x)[/tex] в точке [tex]x = a[/tex]

Теоремы: (при условии, что [tex]f(x), g(x)[/tex] имеют предел в точке [tex]a[/tex])

Предел суммы:

[tex]\displaystyle \lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)[/tex]

Предел произведения:

[tex]\displaystyle \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)[/tex]

Следствие из предела произведения:

[tex]\displaystyle \lim_{x \to a} (k \cdot f(x)) = k \lim_{x \to a} f(x)[/tex]

Предел частного:

[tex]\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) }{\displaystyle \lim_{x \to a} g(x)}[/tex] при условии, что [tex]\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) \neq 0[/tex]

Объяснение:

1)

[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin 4x}{2 \cdot 2x} = 2\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{4x} = 2 \cdot 1 = 2[/tex]

2)

[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{3x}{\sin \dfrac{x}{3} } = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\dfrac{\sin \dfrac{x}{3} }{3x} } = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\dfrac{\sin \dfrac{x}{3} }{9 \cdot \dfrac{x}{3} } } = \frac{1}{\displaystyle\lim_{x \to 0} \Bigg( \dfrac{\sin \dfrac{x}{3} }{9 \cdot \dfrac{x}{3} } \Bigg) } = \frac{1}{ \dfrac{1}{9} \displaystyle \lim_{x \to 0} \Bigg( \dfrac{\sin \dfrac{x}{3} }{ \dfrac{x}{3} } \Bigg) }=[/tex]

[tex]= \dfrac{1}{\dfrac{1}{9} \cdot 1 } = 9[/tex]

3)

[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x \cdot \dfrac{\sin 2x}{2x} }{3x \cdot \dfrac{\sin 3x}{3x} } = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \dfrac{\sin 2x}{2x} }{3 \cdot \dfrac{\sin 3x}{3x} } = \frac{2}{3} \lim_{x \to 0} \frac{ \dfrac{\sin 2x}{2x} }{ \dfrac{\sin 3x}{3x} } =[/tex]

[tex]\displaystyle = \frac{2}{3} \cdot \frac{\displaystyle \lim_{x \to 0} \bigg( \dfrac{\sin 2x}{2x} \bigg) }{ \displaystyle \lim_{x \to 0} \bigg(\dfrac{\sin 3x}{3x} \bigg) } = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{2}{3}[/tex]

4)

[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} \dfrac{x}{2} }{2x^{2} } = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} \dfrac{x}{2} }{4 \cdot \dfrac{x^{2}}{4} } = \frac{1}{8} \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} \dfrac{x}{2} }{\dfrac{x^{2}}{4} } = \frac{1}{8} \lim_{x \to 0} \frac{\sin \dfrac{x}{2} }{\dfrac{x}{2} } \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin \dfrac{x}{2} }{\dfrac{x}{2} } =[/tex]

[tex]= \dfrac{1}{8} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{1}{8}[/tex]