Verified answer

Ответ:

1) высота усечённого конуса равна 12 (ед)

2) угол между образующей и плоскостью основания конуса равен

arccos (1/7)

Объяснение:

1) Радиусы оснований усечённого конуса 10√3 и 6√3, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найти высоту усечённого конуса.

Пусть О и О₁ - центры оснований усечённого конуса. ОО₁ = Н - высота усечённого конуса.

В и А - точки, взятые на соответствующих окружностях. Тогда ОВ - радиус верхнего основания усечённого конуса, О₁А - радиус нижнего основания. По условию ОВ= 6√3, О₁А=10√3.

АВ - образующая усечённого конуса. АВ - наклонная к плоскости нижнего основания. Опустим перпендикуляр ВН к плоскости нижнего основания. ВН⊥О₁А. АН - проекция наклонной АВ. Тогда ∠ВАН - угол между наклонной и проекцией наклонной ⇒ ∠ВАН=60°.

ОВАО₁ - прямоугольная трапеция с основаниями ОВ и О₁А, Так как ОО₁⊥О₁А (высота усечённого конуса), и ВН⊥О₁А , а ОВ║О₁А (как радиусы оснований), то  ОВНО₁ - прямоугольник ⇒ ОО₁=ВН, а НО₁=ОВ=6√3

АН=О₁А-НО₁=10√3-6√3= 4√3

Рассмотрим прямоугольный треугольник ВНА(∠Н=90°)

∠НВА=90°-∠ВАН=90°-60°=30° - по теореме о сумме углов прямоугольного треугольника.

АН=1/2*АВ - как катет, лежащий против угла 30°, следовательно:

АВ=2*АН=2*4√3= 8√3

По теореме Пифагора находим катет ВН (высоту конуса):

ВН²=АВ²-АН²=(8√3)²-(4√3)²=64·3-16·3=(64-16)·3=48·3=144

Н=ВН= 12 (ед)

2) Отношение площадей боковой и полной поверхности конуса равно 7/8. Найти угол между образующей и плоскостью основания конуса.

Пусть А - центр основания  конуса. СА = Н - высота конуса.

В - точка, взятая на  окружности основания. Тогда АВ=R - радиус  основания конуса. СВ=L - образующая усечённого конуса.

СВ - наклонная к плоскости нижнего основания. Так как  СА⊥АВ, то АВ - проекция наклонной СВ. Тогда  угол ∠СВА - это угол между наклонной и проекцией наклонной - искомый.

Площадь боковой поверхности конуса:

Sб=πRL

Площадь полной поверхности конуса:

Sп=πR(R+L)

По условию: Sб/Sп=7/8, тогда:

[tex]\dfrac{\pi RL}{\pi R(R+L)} =\dfrac{7}{8} \\\\\\\dfrac{L}{R+L} =\dfrac{7}{8}[/tex]

8L=7R+7L

L=7R

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС(∠А=90°)

• Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

[tex]cos \angle CBA=\dfrac{AB}{CB} =\dfrac{R}{L} =\dfrac{R}{7R} =\bf \dfrac{1}{7} \approx 0.14[/tex]

Поскольку ΔАВС - прямоугольный, то ∠СВА - острый угол.

Тогда ∠СВА=arccos (1/7) или  ∠СВА≈82°