Verified answer

Ответ:

а) [tex]\boxed{ \boldsymbol{ \Delta = 150 } }[/tex]

б) [tex]\boxed{ \boldsymbol{ \Delta = 38 } }[/tex]

Примечание:

Теорема о разложении или теорема Лапласа:

Значение определителя матрицы равно сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Минором элемента [tex]a_{ij}[/tex] определителя порядка [tex]n[/tex] называется определитель порядка [tex](n - 1)[/tex], полученного из данного вычеркиванием [tex]i[/tex]-й строки и [tex]j[/tex]-го столбца и обозначается в виде [tex]M_{ij}[/tex].

Алгебраическим дополнением элемента [tex]a_{ij}[/tex] называют число:

[tex]A_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot M_{ij}[/tex]

Определитель матрицы не меняется при элементарном преобразовании матрицы.

[tex]r_{n}[/tex] - строка с номером n

[tex]c_{n}[/tex] - столбец с номером n

Объяснение:

а)

[tex]\begin{vmatrix} 7 & 3 & 2 & 6 \\ 8 & -9 & 4 & 9 \\ 7 & -2 & 7 & 3 \\ 5 & -3 & 3 & 4 \end{vmatrix}c_{4} + c_{2} = \begin{vmatrix} 7 & 3 & 2 & 6 + 3 \\ 8 & -9 & 4 & 9 + (-9) \\ 7 & -2 & 7 & 3 + (-2) \\ 5 & -3 & 3 & 4 + (-3) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 7 & 3 & 2 & 9 \\ 8 & -9 & 4 & 0 \\ 7 & -2 & 7 & 1 \\ 5 & -3 & 3 & 1\end{vmatrix}r_{1} - 9r_{4} =[/tex]

[tex]= \begin{vmatrix} 7- 9 \cdot5 & 3- 9 \cdot(-3) & 2- 9 \cdot3 & 9 - 9 \cdot 1 \\ 8 & -9 & 4 & 0 \\ 7 & -2 & 7 & 1 \\ 5 & -3 & 3 & 1\end{vmatrix} =\begin{vmatrix} -38 & 30& -25 & 0 \\ 8 & -9 & 4 & 0 \\ 7 & -2 & 7 & 1 \\ 5 & -3 & 3 & 1\end{vmatrix}r_{3} - r_{4}=[/tex]

[tex]= \begin{vmatrix} -38 & 30& -25 & 0 \\ 8 & -9 & 4 & 0 \\ 7 - 5 & -2 - (-3) & 7 - 3 & 1 - 1 \\ 5 & -3 & 3 & 1\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} -38 & 30& -25 & 0 \\ 8 & -9 & 4 & 0 \\ 2 &1 & 4 & 0\\ 5 & -3 & 3 & 1\end{vmatrix} =[/tex]

Так как 4 столбец содержит нули, то по нему удобно разложить матрицу, таким образом не нулевым алгебраическим дополнением будет дополнение с элементом [tex]a_{44}[/tex], так как [tex]a_{44} \neq 0[/tex].

[tex]= 1 \cdot (-1)^{4 + 4}\begin{vmatrix} -38 & 30 & -25 \\ 8 & -9 & 4 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -38 & 30 & -25 \\ 8 & -9 & 4 \\ 2 & 1 & 4 \end{vmatrix} c_{3} - 4c_{2};c_{1} - 2c_{2} =[/tex]

[tex]= \begin{vmatrix} -38 - 2 \cdot 30 & 30 & -25 - 4 \cdot 30 \\ 8 - 2 \cdot (-9) & -9 & 4- 4 \cdot (-9) \\ 2- 2 \cdot1 & 1 & 4- 4 \cdot1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} -98 & 30 & -145 \\ 26 & -9 & 40 \\0 & 1 & 0\end{vmatrix}=[/tex]

Так как 3 строка содержит нули, то по ней удобно разложить матрицу, таким образом не нулевым алгебраическим дополнением будет дополнение с элементом [tex]a_{32}[/tex], так как [tex]a_{32} \neq 0[/tex].

[tex]= 1 \cdot (-1)^{3 + 2} \begin{vmatrix} -98 & -145 \\ 26 & 40 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 98 & 145 \\ 26 & 40 \end{vmatrix} = 98 \cdot 40 - 26 \cdot 145 = 3920 - 3770 =150[/tex]

б)

[tex]\begin{vmatrix} -3 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 1 & 4 \\ 4 & 0 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 & 4 \end{vmatrix}r_{3} + r_{2};r_{4} + r_{1} = \begin{vmatrix} -3 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 1 & 4 \\ 4 + 2 & 0 + (-2)& -1 + 1 & 2 + 4 \\ 3 + (-3) & 1 + 2 & -1 + 1 & 4 + 0 \end{vmatrix} =[/tex]

[tex]= \begin{vmatrix} -3 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 1 & 4 \\ 6 & - 2 & 0& 6 \\ 0 & 3 & 0& 4 \end{vmatrix}r_{2} - r_{1} =\begin{vmatrix} -3 & 2 & 1 & 0 \\ 2 - (-3) & -2 - 2 & 1 - 1 & 4 - 0 \\ 6 & - 2 & 0& 6 \\ 0 & 3 & 0& 4 \end{vmatrix} =[/tex]

[tex]=\begin{vmatrix} -3 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & -4 & 0 & 4 \\ 6 & - 2 & 0& 6 \\ 0 & 3 & 0& 4 \end{vmatrix} =[/tex]

Так как 3 столбец содержит нули, то по нему удобно разложить матрицу, таким образом не нулевым алгебраическим дополнением будет дополнение с элементом [tex]a_{13}[/tex], так как [tex]a_{13} \neq 0[/tex].

[tex]= 1 \cdot (-1)^{1 + 3}\begin{vmatrix} 5 & - 4 & 4 \\ 6 & -2 & 6 \\ 0 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 5 & - 4 & 4 \\ 6 & -2 & 6 \\ 0 & 3 & 4 \end{vmatrix} c_{2} - 0,75c_{3} = \begin{vmatrix} 5 & - 4 - 0,75 \cdot 4 & 4 \\ 6 & -2- 0,75 \cdot6 & 6 \\ 0 & 3- 0,75 \cdot 4 & 4 \end{vmatrix} =[/tex]

[tex]= \begin{vmatrix} 5 & -7 & 4 \\ 6 & -6,5 & 6 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} =[/tex]

Так как 3 строка содержит нули, то по ней удобно разложить матрицу, таким образом не нулевым алгебраическим дополнением будет дополнение с элементом [tex]a_{33}[/tex], так как [tex]a_{33} \neq 0[/tex].

[tex]= 4 \cdot (-1)^{3 + 3} \begin{vmatrix} 5 & -7 \\ 6 & -6,5 \end{vmatrix} = -4\begin{vmatrix} 5 & 7 \\ 6 & 6,5 \end{vmatrix} =-4(5 \cdot 6,5 - 6 \cdot 7) = -4(32,5 - 42) =[/tex]

[tex]= -4 \cdot (-9,5) = 38[/tex].