Verified answer

Ответ:

Двойной интеграл:

[tex]\boxed{\boldsymbol { \displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}}{1 + y^{2}} \, dxdy = \frac{2\pi}{3} } }[/tex]

Примечание:

Для вычисления двойного интеграла сведем его к повторному интегралу. Будем интегрировать по x, поэтому приведения в общем

виде к повторному интегралу двойного по области [tex]G[/tex] будет в виде:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \iint_{G} f(x,y) \, dxdy = \int\limits^a_b \, dx \int\limits^{\phi_{2}(x)}_{\phi_{1}(x)} {f(x,y)} \, dy } }[/tex]

При этом функции [tex]\phi_{1} (x), \phi_{2} (x)[/tex] - функции ограничивающие область [tex]G[/tex] снизу и сверху соответственно (смотрите рис(1)).

------------------------------------------------------------------------------------------------

Геометрический смысл двойного интеграла:

После вычисления двойного интеграла получается число. Посмотрим, что это число означает. Представим, что у нас есть какая-то функция [tex]f(x,y)[/tex], которая "живет" в трехмерном пространстве [tex]XYZ[/tex]. И построим в двухмерном пространстве [tex]XY[/tex] область [tex]G[/tex] (над областью лежит график [tex]f(x,y)[/tex]. И таким образом проекция графика [tex]f(x,y)[/tex] на плоскость [tex]XY[/tex] есть плоскость [tex]G[/tex]. А трехмерная фигура которая ограниченна областью [tex]G[/tex] частью графика [tex]f(x,y)[/tex] - проекция, которого [tex]G[/tex] и прямыми, по которым идет проектирование называется цилиндрическим телом (рис(3) вместо области [tex]G[/tex] для конкретной задачи указана область [tex]D[/tex]) и как раз объем [tex]V[/tex] данного тела и показывает двойной интеграл, то есть:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{V = \displaystyle \iint_{G} f(x,y) \, dxdy }}[/tex]

Объяснение:

Смотрите рис(2)

Область [tex]D:[/tex]

[tex]0 \leq x \leq 2[/tex]

[tex]0 \leq y \leq 1[/tex]

[tex]\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}}{1 + y^{2}} \, dxdy = \int\limits^{2}_{0} \, dx \int\limits^{1}_{0} \frac{x^{2}}{1 + y^{2}} \, dy = \int\limits^{2}_{0} x^{2} \, dx \bigg ( \int\limits^{1}_{0} \frac{1}{1 + y^{2}} \, dy \bigg ) =[/tex]

[tex]\rm \displaystyle = \int\limits^{2}_{0} x^{2} \, dx \bigg ( arctg \ x \bigg |_0^1 \bigg ) = \bigg (arctg \ 1 - arctg \ 0 \bigg) \int\limits^{2}_{0} x^{2} \, dx = \frac{\pi}{4} \int\limits^{2}_{0} x^{2} \, dx =[/tex]

[tex]\displaystyle = \frac{\pi}{4} \bigg ( \frac{x^{3}}{3} \bigg |_0^2 \bigg) = \frac{\pi}{12} \bigg (2^{3} - 0^{3} \bigg ) = \frac{8\pi}{12} = \frac{2\pi}{3}[/tex].