Verified answer

Ответ:

Решений нет.

Объяснение:

Нужно решить уравнение

                               [tex](x+1)^8+(x^2+1)^4=2x^4.[/tex]

Замечаем, что x=0 не является решением (2≠0), поэтому можно считать, что x≠0, и поделить левую и правую части на [tex]x^4:[/tex]

                                 [tex]\dfrac{(x+1)^8}{x^4}+\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^4=2.[/tex]

Первое слагаемое при любом значении x≠0 больше либо равно 0.

Разберемся со вторым слагаемым. Здесь возможны разные подходы, разберемся не торопясь с некоторыми из них.

1-й подход. Воспользуемся неравенством Коши между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел:

                                              [tex]\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}.[/tex]

Для доказательства этого неравенства можно привести его к виду

                                            [tex]\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}\ge 0.[/tex]

Поэтому при x>0 имеем       [tex]x+\dfrac{1}{x}\ge2\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}};\ \ x+\dfrac{1}{x}\ge 2.[/tex]

Если же [tex]x < 0\Rightarrow x=-t,\ \ t > 0;\ \ x+\dfrac{1}{x}=-\left(t+\dfrac{1}{t}\right)\le -2.[/tex]

Вывод: при любом x    [tex]\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^4\ge 2^4 > 2.[/tex] Поэтому левая часть больше 2, и уравнение решений не имеет.

2-й подход. Для оценки выражения  [tex]x+\dfrac{1}{x}[/tex]  можно использовать производную. Оставим этот способ для желающих.

3-й подход. [tex]\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^4=\left(x^2+2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2 > 2^2 > 2.[/tex]