Ответ:

а) π/2 b) 5/4

Объяснение:

внизу на бумаге (не уверен что правильно, 7классник).

Verified answer

Ответ:

1)  Несобственный интеграл 1 рода .

[tex]\bf \displaystyle \int\limits_{1}^{\infty }\, \frac{dx}{x\, (ln^2x+4)}=\lim\limits_{A \to +\infty}\, \int\limits_{1}^{A}\, \frac{dx}{x\, (ln^2x+4)}=Q[/tex]  

Вычислим сначала неопределённый интеграл, найдём первообразную методом замены переменной .

[tex]\bf \displaystyle \star \ \ \int \frac{dx}{x\, (ln^2x+4)}=\Big[\ t=lnx\ ,\ dt=\frac{dx}{x}\ \Big]=\int \frac{dt}{t^2+4}=\\\\\\=\frac{1}{2}\cdot arctg\frac{t}{2}+C=\frac{1}{2}\cdot arctg\, \frac{lnx}{2}+C\ \ \star[/tex]  

[tex]\bf \displaystyle Q=\lim\limits_{A \to +\infty}\Big(\frac{1}{2}\cdot arctg\, \frac{lnx}{2}\Big)\Big|_1^{A}=\lim\limits_{A \to +\infty}\Big(\frac{1}{2}\cdot arctg\frac{lnA}{2}-\frac{1}{2}\cdot arctg\, 0\Big)=\\\\\\=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}[/tex]  

Так как получили в результате константу, то несобственный  интеграл сходится .  

2) Определённый интеграл . Способ подстановки .

[tex]\bf \displaystyle \int \limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{sin2x}{\sqrt[5]{\bf 1-sin^2x}}\, dx=\Big[\ t=1-sin^2x\ ,\ dt=-2\, sinx\cdot cosx\, dx=-sin2x\, dx\ \Big]=\\\\\\\Big[\ t_1=1-sin^20=0\ ,\ t_2=1-sin^2\frac{\pi }{2}=-1\ \Big]=-\int\limits_{0}^{-1}\frac{dt}{\sqrt[5]{\bf t}}=-\int\limits_{0}^{-1}\, t^{-\frac{1}{5}}\, dt=[/tex]  

[tex]\bf \displaystyle =-\frac{5\, t^{\frac{4}{5}}}{4}\, \Big|_0^{-1}=-\frac{5}{4}\cdot (-1-0)=\frac{5}{4}[/tex]