Ответ:

[tex]\boxed{ \boldsymbol{ \lim_{n \to \infty} (x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n}) = \dfrac{2\sqrt{2} }{3} } }[/tex]

Примечание:

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

[tex]S = \dfrac{b_{1}}{1 - q}[/tex]

Объяснение:

[tex]x_{1} = \sqrt{2}[/tex]

[tex]x_{n + 1} = -\dfrac{x_{n}}{2} ;n \in \mathbb N[/tex]

Вычислим несколько элементов данной последовательности:

[tex]n = 1: x_{1+ 1} = x_{2} = -\dfrac{x_{1}}{2} = -\dfrac{\sqrt{2} }{2}[/tex]

[tex]n = 2: x_{2+ 1} = x_{3} = -\dfrac{x_{2}}{2} = -\dfrac{ -\dfrac{\sqrt{2} }{2} }{2} = \dfrac{\sqrt{2} }{4}[/tex]

[tex]n = 3: x_{3+ 1} = x_{4} = -\dfrac{x_{3}}{2} = -\dfrac{\dfrac{\sqrt{2} }{4} }{2} = -\dfrac{\sqrt{2} }{8}[/tex]

Можно сделать гипотезу, что последовательность [tex]x_{n}[/tex] является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Вычислим предполагаемые [tex]b_{1}[/tex] и [tex]q[/tex], то есть соответственно первый элемент прогрессии и её знаменатель.

По условию: [tex]b_{1} = x_{1} = \sqrt{2}[/tex]

[tex]x_{2} = - \dfrac{\sqrt{2} }{2}[/tex]

По определению знаменателя геометрической последовательности:

[tex]q = \dfrac{x_{2}}{x_{1}} = \dfrac{- \dfrac{\sqrt{2} }{2}}{ \dfrac{\sqrt{2}}{1} } = -0,5[/tex]

Так как [tex]|q| < 1[/tex], то по определению данная последовательность  бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, по определению, так как по формуле предыдущий элемент отличается на [tex]-0,5[/tex] согласно формуле [tex]x_{n + 1} = -\dfrac{x_{n}}{2} ;n \in \mathbb N[/tex].

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия:

[tex]b_{n} = (-0,5)^{n - 1}\sqrt{2}[/tex]

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

[tex]S = \dfrac{\sqrt{2} }{1 - (-0,5)} = \dfrac{\sqrt{2} }{1,5} = \dfrac{2\sqrt{2} }{3}[/tex]

[tex]\lim_{n \to \infty} (x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n}) = \lim_{n \to \infty} S = S = \dfrac{2\sqrt{2} }{3}[/tex].