Ответ:

Ответ будет: -1/2*ln3, (ln1=0)

Ответ:

Интеграл расходится

Пошаговое объяснение:

[tex]\displaystyle \int\limits^{2}_{0} {\frac{1}{x^{2} - 4x + 3} } \, dx[/tex]- интеграл расходится

Найдем область определения подынтегральной функции для чего решим следующие уравнение:

[tex]x^{2} - 4x + 3 = 0[/tex]

[tex]D = (-4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 = 2^{2}[/tex]

[tex]x_{1} = \dfrac{4 + 2}{2} = \dfrac{6}{2} = 3[/tex]

[tex]x_{2} = \dfrac{4 - 2}{2} = \dfrac{2}{2} = 1[/tex]

Таким образом подынтегральная функция определена на множестве [tex]\mathbb R[/tex], кроме точек 1 и 3.

Так как интегрирование происходит в пределах от 0 до 2, а знаменатель дроби не может равняться нулю, то в точке 1 функция терпит разрыв, таким образом интеграл [tex]\displaystyle \int\limits^{2}_{0} {\frac{1}{x^{2} - 4x + 3} } \, dx[/tex]- несобственный интеграл 2 рода.

Таким образом, так как точка 1 принадлежит промежутку интегрирования [0;2] и лежит внутри данного промежутка, то:

[tex]\displaystyle \int\limits^{2}_{0} {\frac{1}{x^{2} - 4x + 3} } \, dx = \int\limits^{1}_{0} {\frac{1}{x^{2} - 4x + 3} } \, dx + \int\limits^{2}_{1} {\frac{1}{x^{2} - 4x + 3} } \, dx[/tex]

Рассмотрим неопределенный интеграл [tex]\displaystyle \int {\frac{1}{x^{2} - 4x + 3} } \, dx[/tex].

[tex]\displaystyle \int {\frac{1}{x^{2} - 4x + 3} } \, dx = \int {\frac{1}{x^{2} - 4x + 4 - 1} } \, dx =\int {\frac{1}{(x - 2)^{2} - 1} } \, d(x - 2) =[/tex]

[tex]\displaystyle = \frac{1}{2} \ln \bigg| \frac{x - 2 - 1}{x - 2 + 1} \bigg| + C = \frac{1}{2} \ln \bigg| \frac{x - 3}{x - 1} \bigg| + C[/tex]

Рассмотрим несобственный интеграл 2 рода [tex]\displaystyle \int\limits^{1}_{0} {\frac{1}{x^{2} - 4x + 3} } \, dx[/tex].

Воспользуемся обобщением формулы Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов 2 рода:

[tex]\displaystyle \int\limits^{1}_{0} {\frac{1}{x^{2} - 4x + 3} } \, dx = \frac{1}{2} \ln \bigg| \frac{x - 3}{x - 1} \bigg| \Bigg |^{1 - 0}_{0} = \lim_{x \to 1 - 0} \frac{1}{2} \ln \bigg| \frac{x - 3}{x - 1} \bigg| - \frac{1}{2} \ln \bigg| \frac{0 - 3}{0 - 1} \bigg|=[/tex]

[tex]= -\infty - \dfrac{1}{2} \ln|3| = -\infty[/tex]

Так как интеграл [tex]\displaystyle \int\limits^{1}_{0} {\frac{1}{x^{2} - 4x + 3} } \, dx[/tex]- расходится, то расходится и интеграл  [tex]\displaystyle \int\limits^{2}_{0} {\frac{1}{x^{2} - 4x + 3} } \, dx[/tex].